Der Graph von cos(x)
Die Kosinusfunktion ordnet jedem Bogen \(x\) die \(x\)-Koordinate des Kreispunkts zu.
- Kosinusfunktion:\(f(x)=\cos(x)\) mit \(x\in\mathbb R\).
- Startwert:\(\cos(0)=1\) — der Graph beginnt oben.
- Wie beim Sinus:Periode \(2\pi\), Amplitude \(1\), Wertebereich \([-1;\,1]\).
- Symmetrie:achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(\cos(-x)=\cos(x)\).
- Nullstellen:\(x=\tfrac{\pi}{2}+k\cdot\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\).
Kosinusfunktion: \(f(x)=\cos(x)\) mit \(x\in\mathbb R\); sie ordnet jedem Bogen \(x\) die \(x\)-Koordinate des Kreispunkts zu.
Eigenschaften: \(\cos(0)=1\), Periode \(2\pi\), Amplitude \(1\), Wertebereich \([-1;\,1]\).
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(\cos(-x)=\cos(x)\).
Nullstellen: \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\cdot\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\).
Sinus und Kosinus verglichen
Legt man die beiden Graphen übereinander, sieht man: Sie haben dieselbe Form.
Verschiebe die orange Sinuskurve mit dem Regler oder am Punkt \(S\), bis sie genau auf dem Kosinusgraphen liegt. Die roten Striche zeigen, wie weit beide noch auseinander sind.
Halte fest: Um \(\tfrac{\pi}{2}\) nach links verschoben, liegt die Sinuskurve genau auf der Kosinuskurve.
- Verschiebung:der Kosinusgraph ist der Sinusgraph, um \(\tfrac{\pi}{2}\) nach links verschoben.
- Umgekehrt:\(\sin(x)=\cos\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)\).
- Periodisch:auch \(s=\tfrac{\pi}{2}-2\pi=-\tfrac{3\pi}{2}\) passt.
Zusammenhang: \(\cos(x)=\sin\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)\).
Verschiebung: Der Kosinusgraph ist der um \(\tfrac{\pi}{2}\) nach links verschobene Sinusgraph; beide haben dieselbe Form.
Umgekehrt: \(\sin(x)=\cos\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)\).
Allgemeine Hinweise
Plus heißt links
In \(\sin\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)\) wird der Graph nach links verschoben, nicht nach rechts.
cos(0) ist nicht 0
Der Kosinusgraph beginnt bei \((0\,|\,1)\) — ein Hochpunkt, keine Nullstelle.
Am Kreis erklärt
Dreht man \(P\) um \(90^\circ\) weiter, wird aus der alten \(x\)-Koordinate die neue \(y\)-Koordinate.