Die Folge der Neunen
Hängt man an \(0{,}9\) immer weitere Neunen an, entsteht eine Folge, die der \(1\) immer näher kommt.
- Folge:\(a_1=0{,}9;\ a_2=0{,}99;\ a_3=0{,}999;\ \ldots\)
- Abstand zu 1:\(0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001;\ \ldots\) — allgemein \(1-a_n=\frac1{10^n}\).
- Grenzwert:Der Abstand wird kleiner als jede positive Zahl, also \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1\).
- Bedeutung:\(0{,}\overline9\) meint kein einzelnes Glied, sondern den Grenzwert dieser Folge.
Ziehe die bewegliche Backe des Messschiebers (oder Pfeiltasten) genau auf die Zahl \(0{,}9\ldots9\) und trage die Messung ein. Dann schaltet „Lupe × 10“ eine Neun weiter — und vergrößert zehnfach.
| Neunen n | Zahl | gemessener Abstand zu 1 | als Bruch |
|---|---|---|---|
| Noch keine Messung. | |||
Halte fest: Jede weitere Neun teilt den Abstand zu \(1\) durch \(10\). Unter der Lupe sieht er immer gleich groß aus, in Wahrheit wird er kleiner als jede positive Zahl.
Folge der Neunen: \(0{,}9;\ 0{,}99;\ 0{,}999;\ \ldots\) mit Abstand zu 1 von \(1-a_n=\frac1{10^n}\).
Grenzwert: Der Abstand wird kleiner als jede positive Zahl, also \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1\).
Bedeutung: \(0{,}\overline9\) meint den Grenzwert der Folge, kein einzelnes Glied.
Weitere Begründungen
Auch ohne Grenzwert zeigen Rechnungen, dass \(0{,}\overline9\) und \(1\) dieselbe Zahl sind.
Herleitung:
- Mit Dritteln:\(\frac13=0{,}\overline3\) mal \(3\) ergibt \(1=0{,}\overline9\).
- Nichts dazwischen:Zwischen zwei verschiedenen Zahlen liegt immer ihr Mittelwert. Zwischen \(0{,}\overline9\) und \(1\) passt keine Zahl — sie sind gleich.
Identität: \(0{,}\overline9=1\)
Mit Dritteln: \(\frac13=0{,}\overline3\), mal \(3\) ergibt \(1=0{,}\overline9\).
Nichts dazwischen: Zwischen zwei verschiedenen Zahlen liegt immer ihr Mittelwert; zwischen \(0{,}\overline9\) und \(1\) passt keine Zahl, sie sind gleich.
Allgemeine Hinweise
Endlich viele Neunen
\(0{,}999\ldots9\) mit endlich vielen Neunen ist kleiner als \(1\). Erst mit unendlich vielen Neunen ist die Zahl gleich \(1\).
Gilt für jede Neunerperiode
\(2{,}4\overline9=2{,}5\) und \(0{,}1\overline9=0{,}2\) — eine Periode aus Neunen rundet die Stelle davor auf.
Nicht „knapp darunter“
\(0{,}\overline9\) ist keine Zahl „unendlich knapp unter 1“. Solche Zahlen gibt es in \(\mathbb R\) nicht — es ist genau \(1\).