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Kreisbogen und Kreisausschnitt

Ein Stück Pizza ist ein Kreisausschnitt — und wie groß es ist, verrät allein der Winkel an der Spitze.

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Anteil am ganzen Kreis

Zwei Radien schneiden ein Stück aus dem Kreis heraus. Wie groß dieses Stück ist, legt allein der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) fest.

  • Mittelpunktswinkel \(\alpha\):Winkel zwischen den beiden Radien am Mittelpunkt \(M\).
  • Kreisbogen \(b\):das Stück der Kreislinie zwischen den beiden Radien.
  • Kreisausschnitt:die Fläche zwischen den beiden Radien und dem Bogen.
  • Anteil:\(\dfrac{\alpha}{360^\circ}\) vom ganzen Kreis, z. B. \(\dfrac{90^\circ}{360^\circ}=\dfrac14\).

Stelle den Winkel \(\alpha\) und den Radius \(r\) ein oder ziehe den orangen Punkt über den Kreis. Vergleiche die beiden Balken.

Anteil am ganzen Kreis

Halte fest: Bogen und Ausschnitt sind derselbe Anteil \(\dfrac{\alpha}{360^\circ}\) — einmal vom Umfang \(2\pi r\), einmal von der Kreisfläche \(\pi r^2\).

Herleitung:

\(A=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\)
umformen
Start: der Anteil \(\dfrac{\alpha}{360^\circ}\) von der Kreisfläche.
\(A=\dfrac12\cdot\left(\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\right)\cdot r\)
b einsetzen
\(\pi r^2\) als \(\tfrac12\cdot 2\pi r\cdot r\) schreiben — die Klammer ist genau der Bogen \(b\).
\(A=\dfrac12\cdot b\cdot r\)
Ergebnis
Wie beim Dreieck: die Hälfte von „Grundseite“ \(b\) mal „Höhe“ \(r\).
Merke

Kreisbogen und Kreisausschnitt: Der Mittelpunktswinkel \(\alpha\) legt den Anteil \(\dfrac{\alpha}{360^\circ}\) am Kreis fest.

\(b=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\) und \(A=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2=\dfrac12\cdot b\cdot r\)

Begriffe: Kreisbogen \(b\) ist das Stück der Kreislinie zwischen den Radien, der Kreisausschnitt die Fläche zwischen Radien und Bogen.

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Kreisring und Kreisteile

Viele Kreisfiguren entstehen, wenn man ganze Kreise, Kreisausschnitte und Vielecke addiert oder abzieht.

  • Kreisring:Fläche zwischen zwei Kreisen mit gleichem Mittelpunkt, Außenradius \(r_a\), Innenradius \(r_i\).
  • Halb- und Viertelkreis:Kreisausschnitte mit \(\alpha=180^\circ\) bzw. \(\alpha=90^\circ\).
  • Zusammengesetzt:in bekannte Teile zerlegen (Rechteck, Dreieck, Kreisteile), dann Flächen addieren oder abziehen.
  • Umfang:nur die äußere Randlinie zählt: Bögen und Strecken, keine inneren Trennlinien.

Herleitung:

\(A_{\text{Ring}}=\pi r_a^2-\pi r_i^2\)
π ausklammern
Start: großer Kreis minus inneres Loch.
\(A_{\text{Ring}}=\pi\,\left(r_a^2-r_i^2\right)\)
Ergebnis
Erst beide Radien quadrieren, dann subtrahieren.
Merke

Kreisring: \(A_{\text{Ring}}=\pi\,\left(r_a^2-r_i^2\right)\) mit Außenradius \(r_a\) und Innenradius \(r_i\).

Kreisteile: Halbkreis \(\alpha=180^\circ\), Viertelkreis \(\alpha=90^\circ\).

Zusammengesetzt: In bekannte Teile zerlegen, Flächen addieren oder abziehen; beim Umfang zählt nur die äußere Randlinie.

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Allgemeine Hinweise

Bogen oder Fläche?

Der Bogen ist eine Länge und rechnet mit \(2\pi r\) (Einheit cm), der Ausschnitt ist eine Fläche mit \(\pi r^2\) (Einheit cm²).

Nicht \((r_a-r_i)^2\)

Beim Kreisring erst quadrieren: \(\pi\,(5^2-3^2)=16\pi\), aber \(\pi\,(5-3)^2=4\pi\) ist falsch.

Anteil zuerst kürzen

\(\dfrac{120^\circ}{360^\circ}=\dfrac13\) — dann ist der Bogen einfach ein Drittel des Umfangs.

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