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Gleichung aus zwei Punkten

Zwei Punkte genügen, um eine Exponentialfunktion festzulegen — doch welche zwei nimmt man, wenn acht Messwerte streuen?

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Zwei Punkte legen a und b fest

Der Ansatz \(f(x)=a\cdot b^{x}\) enthält zwei Unbekannte — zwei Punkte des Graphen reichen, um beide zu bestimmen.

  • Punkt auf der \(y\)-Achse:aus \(P(0\,|\,y_0)\) folgt sofort \(a=y_0\), denn \(b^{0}=1\). Dann bleibt nur noch \(b\).
  • Sonst einsetzen:beide Punkte in \(f(x)=a\cdot b^{x}\) einsetzen — das gibt zwei Gleichungen.
  • Dividieren:die Gleichungen durcheinander teilen; \(a\) kürzt sich weg, übrig bleibt eine Potenz von \(b\).
  • Wurzel ziehen:nur die positive Lösung zählt, denn die Basis ist immer \(b>0\).

Herleitung:

\(6=a\cdot b^{1}\quad\text{und}\quad 54=a\cdot b^{3}\)
| II : I
Start: \(P(1\,|\,6)\) und \(Q(3\,|\,54)\) in \(f(x)=a\cdot b^{x}\) eingesetzt.
\(\dfrac{54}{6}=\dfrac{a\cdot b^{3}}{a\cdot b^{1}}\)
| kürzen
\(a\) steht oben und unten und fällt weg.
\(b^{2}=9\)
| \(\sqrt{\phantom{b}}\)
Potenzgesetz \(b^{3}:b^{1}=b^{2}\), und \(54:6=9\).
\(b=3\)
| in I
\(b=-3\) scheidet aus, weil die Basis positiv sein muss.
\(6=a\cdot 3\;\Rightarrow\;a=2\)
| einsetzen
\(b=3\) in die erste Gleichung, dann durch \(3\) geteilt.
\(f(x)=2\cdot 3^{x}\)
Ergebnis
Probe: \(f(3)=2\cdot 27=54\) — der Graph geht durch beide Punkte.
Merke

Ansatz: \(f(x)=a\cdot b^{x}\) hat zwei Unbekannte, deshalb genügen zwei Punkte des Graphen.

Vorgehen: Beide Punkte einsetzen, die Gleichungen durcheinander teilen (\(a\) kürzt sich weg), dann die Wurzel ziehen; nur die positive Lösung zählt, da \(b>0\).

Durch \(P(x_1\,|\,y_1)\) und \(Q(x_2\,|\,y_2)\): \(b=\left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\frac{1}{x_2-x_1}}\) und \(a=\frac{y_1}{b^{x_1}}\)

Punkt auf der \(y\)-Achse: Aus \(P(0\,|\,y_0)\) folgt sofort \(a=y_0\).

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Viele Messwerte: Regression

Echte Messwerte streuen — kein Exponentialgraph trifft alle Punkte genau. Welche zwei Punkte man nimmt, verändert das Ergebnis.

Markiere genau zwei Messpunkte (Klick, oder Pfeiltasten und Enter). Probiere verschiedene Paare und vergleiche am Ende mit der Regressionskurve.

Zwei Messpunkte markieren

Halte fest: Die Kurve durch zwei Punkte hängt stark von der Auswahl ab. Die Regression berücksichtigt alle Messwerte und liefert die insgesamt am besten passende Kurve \(y=a\cdot b^{x}\).

Der GTR Casio fx-CG50 berechnet diese Ausgleichskurve im Menü Statistik.

  • Listen füllen:MENU 2; \(x\)-Werte in List 1, \(y\)-Werte in List 2, jeweils mit EXE.
  • Streudiagramm:F1 (GRAPH), F1 (GRAPH1).
  • Regression:F1 (CALC), F6 (▷), F3 (EXP), F2 (a·b^x).
  • Richtiges Modell:F1 (a·e^bx) wäre die Form \(a\cdot e^{bx}\) — dort bedeutet \(b\) etwas anderes.
  • Ausgabe:a, b, r, r², MSe — z. B. a=2.207660839, b=1.396328174, r²=0.9949405186 für die Algen-Messreihe oben.
  • Güte:je näher \(r^{2}\) an \(1\) liegt, desto besser passt die Kurve zu den Messwerten.
  • Zeichnen:F6 (DRAW) legt die Kurve über das Streudiagramm.
Merke

Messwerte: Echte Messwerte streuen; die Kurve durch zwei Punkte hängt stark von der Auswahl ab.

Regression: Sie berücksichtigt alle Messwerte und liefert die insgesamt am besten passende Kurve \(y=a\cdot b^{x}\).

GTR: Im Menü Statistik Listen füllen, dann Regression EXP mit \(a\cdot b^x\) wählen, nicht \(a\cdot e^{bx}\).

Güte: Je näher \(r^{2}\) an \(1\) liegt, desto besser passt die Kurve.

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Allgemeine Hinweise

Dividieren, nicht subtrahieren

Zieht man die Gleichungen voneinander ab, verschwindet \(a\) nicht. Erst der Quotient \(\frac{y_2}{y_1}\) lässt \(a\) herausfallen.

Abstand im Exponenten

Die Wurzel richtet sich nach \(x_2-x_1\), nicht nach \(x_2\): Aus \(P(2\,|\,5)\) und \(Q(5\,|\,40)\) folgt \(b^{3}=8\), also \(b=2\).

Probe mit dem zweiten Punkt

Zum Schluss den anderen Punkt einsetzen. Stimmt der Funktionswert nicht, steckt ein Fehler in \(a\) oder \(b\).

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