Aufgabenblock — AFB III
Zehn Aufgaben der Anforderungsstufe AFB III (Verallgemeinern und Reflektieren). Hier zählt nicht die Zahl allein: Sie sollen bewerten, ob ein Versuch wirklich beweist, was er zu beweisen scheint, Behauptungen widerlegen, Fehler in Schülerlösungen aufdecken, Grenzfälle prüfen, Größenordnungen abschätzen und Erkenntnisse von einer Wellenart auf die andere übertragen. Aufgaben mit Rechenfeldern zählen als gelöst, wenn alle Felder stimmen; die reinen Begründungsaufgaben zählen als erledigt, sobald Sie die Musterlösung aufklappen — erst selbst formulieren, dann vergleichen. Im Taschenrechner den Gradmodus (DEG) einstellen, Dezimalkomma verwenden.
Sieben Aussagen liegen vor. Alle sieben sind wahr — aber nur ein Teil davon stützt die Behauptung.
- Senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gibt es viele mögliche Schwingungsrichtungen — aus ihnen kann ein Filter eine auswählen.
- Licht breitet sich mit sehr großer Geschwindigkeit aus.
- Ein gekreuzter Analysator kann die Intensität auf null bringen; das setzt eine ausgezeichnete Querrichtung voraus.
- Licht lässt sich beugen und brechen.
- Bei einer Längswelle liegt die Schwingung fest in Ausbreitungsrichtung — dort gibt es nichts auszuwählen.
- Die Wellenlänge des Lichts beträgt nur einige hundert Nanometer.
- Schall lässt sich mit keinem Filter polarisieren.
a) Ordnen Sie jede Aussage einer der beiden Gruppen zu: stützt den Beweis oder wahr, aber kein Beweis.
b) Begründen Sie in zwei bis drei Sätzen, nach welchem Kriterium Sie entschieden haben.
c) Erklären Sie, warum genau die Stellung θ = 90° mit I = I₀ · cos²θ = 0 das entscheidende Argument liefert — und nicht etwa, dass es bei 30° dunkler wird.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
a) Stützen den Beweis: 1, 3, 5 und 7. Alle vier handeln von der Schwingungsrichtung quer zur Ausbreitung: Es gibt viele Querrichtungen (1), aus denen der Filter eine auswählt; der gekreuzte Analysator kann die Intensität auf null bringen (3), was nur geht, wenn eine ausgezeichnete Querrichtung existiert; bei einer Längswelle liegt die Schwingung fest in Ausbreitungsrichtung, dort gibt es nichts auszuwählen (5); und Schall lässt sich tatsächlich mit keinem Filter polarisieren (7).
Wahr, aber kein Beweis: 2, 4 und 6. Die große Geschwindigkeit, Beugung und Brechung sowie die Wellenlänge von einigen hundert Nanometern zeigen nur, dass Licht überhaupt eine Welle ist — longitudinale Schallwellen können sich ebenso beugen und brechen und haben ebenfalls eine Wellenlänge. Wer diese Aussagen als Beweis führt, verwechselt „ist eine Welle" mit „ist eine Querwelle".
b) Kriterium: Eine Aussage stützt die Behauptung nur, wenn sie longitudinale Wellen ausschließt. Man prüft also jede Aussage mit der Gegenprobe: Könnte Schall das auch? Lautet die Antwort ja, trennt die Aussage die beiden Wellenarten nicht.
c) Dass es bei 30° dunkler wird, ließe sich noch als „der Filter schluckt eben Licht" deuten — ein Filter, der wie ein Sieb wirkt, würde bei jeder Stellung gleich viel schlucken. Entscheidend ist die vollständige Auslöschung bei genau θ = 90°: cos²90° = 0. Eine Richtung, in der gar nichts mehr durchkommt, kann es nur geben, wenn die Schwingung überhaupt eine Richtung senkrecht zur Ausbreitung hat. Filter sind eben keine Siebe — sie wählen eine Richtung aus, und die muss es erst einmal geben. Nebenbei: Polarisator und Analysator sind baugleich; wer sie vertauscht, ändert nichts. Entscheidend ist allein der Winkel θ zwischen ihnen.
a) Widerlegen Sie beide Teilbehauptungen. Argumentieren Sie beim ersten Teil mit einer Bilanz über die gesamte Schirmfläche hinter einem Doppelspalt, nicht nur über eine einzelne dunkle Stelle.
b) Ein zweiter Mitschüler hält dagegen: „Bei Δs = 0 löschen sich die Wellen aus, weil kein Wegunterschied da ist." Beurteilen Sie diese Aussage.
c) Grenzfall: Unter welcher zusätzlichen Bedingung ist die Auslöschung überhaupt vollständig? Was beobachtet man, wenn diese Bedingung verletzt ist?
d) Alle drei Fehlvorstellungen haben dieselbe gedankliche Wurzel. Benennen Sie sie.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
a) Erster Teil — keine Wärme. Die Energie wird bei destruktiver Interferenz nicht vernichtet und auch nicht in Wärme umgewandelt, sondern räumlich umverteilt. Hinter dem Doppelspalt ist der Schirm an den Minima dunkel, an den Maxima aber heller, als es ein einzelner offener Spalt an derselben Stelle wäre. Summiert man die Leistung über die gesamte Schirmfläche, kommt genau die eingestrahlte Leistung heraus. Der Energiesatz ist also erfüllt — er gilt eben für die Bilanz, nicht für einen einzelnen Punkt.
Zweiter Teil — nichts ist zerstört. Nach dem Superpositionsprinzip ist die Auslenkung nur während der Überlagerung die Summe der Einzelauslenkungen. Danach laufen beide Wellen völlig ungestört mit ihrer alten Amplitude weiter. Zwei Wellen verbrauchen einander nicht.
b) Falsch. Δs = 0 ist der Fall n = 0 der konstruktiven Bedingung Δs = n · λ — also maximale Verstärkung. Genau das ist der Normalfall auf der Mittelsenkrechten zwischen zwei gleichphasigen Quellen und der Grund, warum in der Schirmmitte das helle Hauptmaximum 0. Ordnung liegt. Für Auslöschung müsste Δs = (n + ½) · λ gelten.
c) Grenzfall: Vollständig ist die Auslöschung nur bei gleicher Amplitude beider Wellen. Sind die Amplituden verschieden, bleibt ein Rest übrig — es wird nur leiser bzw. dunkler, nicht still bzw. schwarz. Zusätzlich muss ein stabiles Muster überhaupt entstehen können, die Quellen also kohärent sein.
d) Gemeinsame Wurzel: Wellen werden wie Billardkugeln gedacht — als Dinge, die sich gegenseitig stoßen, verbrauchen und dabei Energie „loswerden" müssen. Wellen aber durchdringen einander: Sie addieren sich punktweise und laufen anschließend unverändert weiter.
Ein Gitter mit der Gitterkonstante g = 1,5 µm wird mit rotem Laserlicht der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet. Es gilt g · sin α = n · λ und die physikalische Schranke sin α ≤ 1.
e) Widerlegen Sie anschließend die beiden folgenden Aussagen: „Ein Gitter mit mehr Strichen pro Millimeter würde mehr Ordnungen zeigen." und „Ein größerer Schirmabstand würde zusätzliche Ordnungen sichtbar machen."
Lösung und Begründung anzeigen
a) sin α = n·λ/g = 1 · 600 nm ÷ 1500 nm = 0,40. Die 2. Ordnung läge bei sin α = 0,80.
b) n ≤ g/λ = 1500 ÷ 600 = 2,5 ⇒ n = 2. Eine 3. Ordnung ist unmöglich, weil sich sin α = 1,2 ergäbe.
c) g/λ = 1500 nm ÷ 450 nm = 3,33
d) n = 3 — mit blauem Licht sind an demselben Gitter mehr Ordnungen sichtbar.
e) Erste Aussage — falsch. Mehr Striche pro Millimeter bedeuten wegen g = 1 / (Striche pro Länge) eine kleinere Gitterkonstante. Ein kleineres g macht n·λ/g größer, der Sinus stößt also schneller an die Grenze 1. Ein feineres Gitter lenkt zwar stärker ab — es zeigt aber weniger Ordnungen, nicht mehr. Das ist der Grenzfall, der die Anschauung überrascht: „feiner" heißt nicht „mehr".
Zweite Aussage — falsch. In sin α = n · λ / g stehen nur n, λ und g. Der Schirmabstand kommt darin überhaupt nicht vor; er macht das Muster auf dem Schirm nur größer, ändert aber keinen einzigen Winkel und erzeugt keine zusätzliche Ordnung.
Kontrolle im Prüfstand: Stellen Sie in Phase 2 g = 1,5 µm und λ = 600 nm ein — der Prüfstand zeigt genau zwei Ordnungen und markiert die dritte als unmöglich. Schieben Sie λ dann auf 450 nm.
Prüfstand — wie viele Ordnungen sind möglich?
Der Prüfstand macht die Schranke sin α ≤ 1 sichtbar. Stellen Sie Gitterkonstante g und Wellenlänge λ ein: Der Fächer zeigt alle Hauptmaxima, die es unter g · sin α = n · λ wirklich gibt — und markiert die erste Ordnung, die jenseits der 90°-Grenze liegt und deshalb nicht existiert. Damit lässt sich A3 nachprüfen und die Behauptung „ein feineres Gitter zeigt mehr" selbst widerlegen.
Gitter-Prüfstand
Ziehen Sie die beiden Griffe mit der Maus — oder setzen Sie den Fokus mit Tab auf einen Griff und ändern Sie den Wert mit ← → (großer Schritt: Bild↑ Bild↓, Randwerte: Pos1 Ende). Enter oder Leertaste springt zum nächsten ganzzahligen Wert.
| Ordnung n | sin α = n · λ / g | Winkel α | Beurteilung |
|---|
Der Prüfstand zeigt nur die Lage der Hauptmaxima. Wie scharf sie sind, hängt von der Zahl der beleuchteten Spalte ab: N bestimmt, wie scharf — g bestimmt, wo. Der Schirmabstand kommt in sin α = n · λ / g nicht vor und erzeugt darum keine zusätzliche Ordnung.
Reflexion — was AFB III von Ihnen verlangt
Auf dieser Stufe zählt nicht die Zahl, sondern das Urteil über die Zahl. Sie haben geübt:
- Beweiskraft prüfen — eine wahre Aussage ist noch kein Beweis. Nur was longitudinale Wellen ausschließt, stützt „Licht ist transversal" (A1).
- Behauptungen widerlegen — Energie wird bei destruktiver Interferenz umverteilt, nicht vernichtet; stehende Wellen transportieren nichts (A2, A6).
- Grenzfälle testen — sin α ≤ 1 begrenzt die Ordnungen; λ_n = 2L/n gilt nur bei zwei festen Enden; α = 0° entlarvt den falschen Winkelbezug (A3, A6, A8).
- Fremde Lösungen prüfen — erst Größenordnung, dann Einheiten, dann Formel, zuletzt die Zahlen (A4, A5, A7).
- Verhältnisse statt Absolutwerte — Δx/λ statt Meter, b/λ statt Spaltbreite, g/λ statt Strichzahl (A8, A9).
- Messpläne bewerten — Kohärenz als Voraussetzung, viele Abstände statt eines, und nur Größen messen, die in der Formel vorkommen (A10).
Prüfen Sie jedes Ergebnis mit einer Einheitenprobe und einem Grenzfall. In der Klausur zählt die tragfähige Begründung ebenso viel wie der Zahlenwert — und ein Antwortsatz mit Einheit gehört immer dazu.