Anforderungsbereich III — verallgemeinern und reflektieren
Auf dieser Seite wird kaum noch eingesetzt und ausgerechnet. Gefragt sind die Tätigkeiten, die im Abitur den dritten Anforderungsbereich ausmachen: verallgemeinern (welcher Faktor folgt aus welcher Änderung — ohne konkrete Zahlen), beurteilen (stimmt diese Musterrechnung, stimmt diese Behauptung), übertragen (was in der Mechanik die Masse ist, ist im Schwingkreis die Induktivität) und planen (wie messe ich eine Masse ohne Waage, wie bestimme ich g mit einem Faden und einer Stoppuhr).
Alle zehn Aufgaben stützen sich auf die vier Formeln des Kapitels: \(f=\dfrac{1}{T}\), \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\), \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) und \(T=2\pi\sqrt{L\,C}\). Zu jeder Aufgabe gehört eine ausführliche Auflösung, die nicht nur das Ergebnis nennt, sondern begründet, warum die typischen Gegenargumente nicht tragen. Öffnen Sie sie erst, wenn Sie einen eigenen Begründungssatz notiert haben — bei den reinen Begründungsaufgaben zählt das Aufklappen als erledigt.
Verhältnisse, Fehler, Modellgrenzen
Sagen Sie voraus, mit welchem Faktor sich die Schwingungsdauer \(T\) ändert. In keiner der acht Änderungen ist ein Zahlenwert für \(m\), \(D\), \(l\), \(g\), \(L\) oder \(C\) gegeben — Sie brauchen ihn auch nicht. Entscheidend ist allein, wo die geänderte Größe in der Formel steht: über oder unter dem Bruchstrich und ob sie unter der Wurzel liegt.
Verhältnis-Prüfstand
Wählen Sie den Faktor für \(T\) und prüfen Sie Ihre Vorhersage. Bedienbar mit der Maus oder mit Tabulator und Leertaste; die Balken zeigen nach dem Prüfen das Verhältnis der alten zur neuen Schwingungsdauer.
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Auflösung anzeigen
Auflösung: Alle acht Zeilen prüfen dieselbe Einsicht in verschiedenen Verkleidungen: Ein Faktor unter der Wurzel wirkt außen nur mit seiner Wurzel. Deshalb braucht man die vierfache Masse für die doppelte Schwingungsdauer, die vierfache Fadenlänge für dieselbe Verdopplung und die vierfache Kapazität, um die Schwingungsdauer des Schwingkreises zu verdoppeln. Wer den Faktor 4 einträgt, behandelt die Wurzel wie eine Klammer und verwechselt proportional mit proportional zur Wurzel.
Die zweite Unterscheidung betrifft die Stellung im Bruch. In \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) steht \(m\) im Zähler, \(D\) im Nenner; beide wirken also gleich stark, aber in entgegengesetzte Richtung. Vervierfachte Federhärte halbiert \(T\), vervierfachte Masse verdoppelt es. Genau dasselbe Muster zeigt das Fadenpendel mit \(l\) im Zähler und \(g\) im Nenner: Ein Ort mit einem Viertel der Fallbeschleunigung verdoppelt die Schwingungsdauer. Wer hier auf „kleiner“ tippt, verwechselt „schwächere Anziehung“ mit „schnellerer Schwingung“ — tatsächlich zieht eine schwächere rücktreibende Kraft das Pendel träger in die Ruhelage zurück.
Am lehrreichsten sind die beiden Zeilen, in denen zwei Größen gleichzeitig geändert werden. Werden \(m\) und \(D\) beide verdoppelt, bleibt der Quotient \(m/D\) unverändert — und damit auch \(T\). Beim Schwingkreis dagegen steht ein Produkt unter der Wurzel: Verdoppelt man \(L\) und halbiert gleichzeitig \(C\), bleibt \(L\cdot C\) gleich, \(T\) also ebenfalls. Deshalb lässt sich dieselbe Frequenz mit einer großen Spule und einem kleinen Kondensator ebenso erreichen wie umgekehrt. Merken Sie sich die Kurzform: Quotient beim Pendel, Produkt beim Schwingkreis — die Wurzel gilt für beide.
Ein Mitschüler hat die Schwingungsdauer eines Feder-Masse-Pendels berechnet: Eine Masse von 200 g hängt an einer Feder mit \(D=50\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\). Sein Heftauszug enthält drei fehlerhafte Zeilen. Überprüfen Sie die Rechnung Zeile für Zeile und markieren Sie genau die falschen Zeilen. Die richtigen müssen stehen bleiben.
Heftauszug — welche Zeilen sind falsch?
Klicken Sie die fehlerhaften Zeilen an (oder wählen Sie sie mit Tabulator und Leertaste aus) und prüfen Sie anschließend Ihre Auswahl. Nach dem Prüfen erscheint unter jeder falschen Zeile die Richtigstellung.
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Diese Zeile ist korrekt — sie trennt sauber Gegebenes und Gesuchtes.
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Richtig wäre: 1 kg = 1000 g, also m = 200 g = 0,20 kg. Der Fehler um den Faktor 10 entsteht durch Verschieben des Kommas um nur eine statt drei Stellen.
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Diese Zeile ist korrekt — es ist die Formel des Feder-Masse-Pendels.
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Diese Zeile ist korrekt — auffällig ist nur, dass hier plötzlich mit 0,20 kg gerechnet wird, obwohl Zeile 2 etwas anderes behauptet.
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Richtig wäre: Erst die Wurzel ziehen: √0,0040 = 0,063. Dann T = 2π · 0,063 = 0,40 s. Hier wurde die Wurzel schlicht weggelassen.
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Diese Zeile ist korrekt: f = 1 ÷ 0,40 s = 2,5 Hz.
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Richtig wäre: m steht unter der Wurzel, der Faktor 2 wirkt also nur als √2 ≈ 1,41. Die neue Schwingungsdauer beträgt rund 0,56 s.
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Auflösung: Falsch sind die Zeilen 2, 5 und 7 — und sie stehen für die drei Fehlerarten, die in Klausuren gemeinsam den größten Punktverlust verursachen. Zeile 2 ist ein Einheitenfehler: 200 g sind 0,20 kg, nicht 2,0 kg. Er ist besonders tückisch, weil er das Ergebnis nicht offensichtlich unsinnig macht — mit 2,0 kg käme \(T=1{,}26\,\mathrm s\) heraus, ein Wert, den man einem Federpendel ohne Weiteres abnehmen würde. Nur die Größenordnungsprobe hilft: Ein Laborfederpendel schwingt typischerweise ein- bis zweimal pro Sekunde.
Zeile 5 ist ein Reihenfolgefehler. Die Wurzel wurde übersprungen, aus 0,0040 wurde direkt mit \(2\pi\) multipliziert. Man erkennt das ohne Rechnung: Das Ergebnis 0,025 s wäre eine Frequenz von 40 Hz — dafür müsste man die Feder deutlich straffer oder die Masse rund 250-mal kleiner wählen. Merken Sie sich die feste Abfolge erst \(m/D\), dann die Wurzel, dann mal \(2\pi\); wer \(2\pi\) zu früh einsetzt oder die Wurzel vergisst, landet regelmäßig um eine Zehnerpotenz daneben.
Zeile 7 ist ein Linearitätsfehler, inhaltlich derselbe wie in Aufgabe 1: Doppelte Masse bedeutet Faktor \(\sqrt2\approx1{,}41\), also rund 0,56 s. Bemerkenswert ist schließlich, dass sich die Zeilen 2 und 4 gegenseitig widersprechen — in Zeile 4 wird korrekt mit 0,20 gerechnet. Solche inneren Widersprüche sind das verlässlichste Warnsignal beim Korrekturlesen: Wer beim Nachrechnen mitliest statt nur zu überfliegen, findet sie ohne jede Formelkenntnis.
Bei beiden Teilaufgaben ist das Ergebnis vorgegeben und der Eingriff gesucht. Konkrete Zahlenwerte brauchen Sie nicht.
a) Ein Fadenpendel soll die doppelte Schwingungsdauer bekommen; der Ort bleibt derselbe. Mit welchem Faktor muss die Pendellänge \(l\) multipliziert werden?
b) Ein Feder-Masse-Pendel soll die dreifache Frequenz bekommen. Die Feder bleibt dieselbe, nur die Masse wird ausgetauscht. Mit welchem Faktor muss die Masse \(m\) multipliziert werden?
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a) Faktor 4. Aus \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) wird bei vervierfachter Länge \(T'=2\pi\sqrt{4l/g}=\sqrt4\cdot2\pi\sqrt{l/g}=2\,T\). Das ist der Grund, warum man in der Schule das Sekundenpendel mit \(l=1{,}0\,\mathrm m\) und \(T=2{,}0\,\mathrm s\) benutzt: Für \(T=4{,}0\,\mathrm s\) bräuchte man bereits einen 4 m langen Faden, für \(T=8{,}0\,\mathrm s\) sogar 16 m. Die Wurzel bremst jeden Fortschritt — sie ist auch der Grund, warum Standuhren nicht beliebig langsam ticken können.
b) Faktor 1/9 (rund 0,11). Hier lauert eine zusätzliche Umkehrung. Verdreifacht sich \(f\), so sinkt \(T\) auf ein Drittel, denn \(f=\dfrac1T\). Aus \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) folgt: Damit \(T\) auf ein Drittel sinkt, muss der Quotient \(m/D\) auf ein Neuntel sinken. Da \(D\) fest ist, muss die Masse auf ein Neuntel verkleinert werden. Wer den Zwischenschritt über \(T\) auslässt und direkt „dreifaches \(f\) also dreifache Masse“ schließt, dreht die Richtung um; wer nur „ein Drittel“ schließt, vergisst das Quadrieren.
Beide Teilaufgaben zeigen dasselbe Vorgehen: Zuerst die Zielgröße in eine Aussage über \(T\) übersetzen, dann den geforderten Faktor außerhalb der Wurzel quadrieren, um den Faktor unter der Wurzel zu erhalten, und erst zum Schluss klären, welche der beteiligten Größen man überhaupt verstellen darf.
Reflexion — was AFB III von Ihnen verlangt
Auf dieser Seite wurde selten eine Zahl gesucht und fast immer ein Begründungssatz. Fünf Denkfiguren haben Sie dabei benutzt:
- Verhältnisse statt Werte — alles, was sich nicht ändert, kürzt sich heraus. Übrig bleibt der Faktor, und unter der Wurzel wird aus dem Faktor \(k\) der Faktor \(\sqrt{k}\).
- Stellung im Bruch lesen — \(m\) und \(l\) stehen im Zähler, \(D\) und \(g\) im Nenner. Gleicher Faktor in Zähler und Nenner bedeutet: \(T\) bleibt gleich.
- Rechnungen prüfen statt nachvollziehen — Einheiten in Grundeinheiten, Reihenfolge Quotient beziehungsweise Produkt, dann Wurzel, dann \(2\pi\), zum Schluss die Größenordnungsprobe.
- Analogien tragen — bis zu einer bestimmten Stelle — \(m\leftrightarrow L\) und \(D\leftrightarrow\dfrac1C\); der gemeinsame Bauplan lautet \(T=2\pi\sqrt{\text{Trägheit}/\text{Rücktrieb}}\).
- Voraussetzungen mitdenken — kleine Winkel beim Fadenpendel, lineares Kraftgesetz \(F=-D\,y\), idealer Kreis ohne Verluste. Wer die Voraussetzung verlässt, verlässt die Formel.
In der Klausur zählt bei diesen Aufgaben der Weg der Begründung mehr als das Ergebnis. Schreiben Sie den Satz auf, der die Entscheidung trägt — und nennen Sie am Ende immer Zahlenwert und Einheit.