Aufgabenblock — AFB II
Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel ab. Sie lösen 10 Aufgaben der Anforderungsstufe AFB II (Zusammenhänge herstellen): Messreihen auswerten, Formeln aus Bausteinen zusammensetzen, Verhältnisse bilden und Rechenketten über mehrere Schritte führen. In den Ketten wird der nächste Schritt erst frei, wenn der vorige stimmt — so merken Sie sofort, wo ein Zwischenergebnis kippt. Zu jeder Aufgabe gibt es gestufte Hilfen und eine ausführliche Lösung. Zwischendurch stehen zwei Werkzeuge zum Ausprobieren; sie werden nicht bewertet.
An einer Elektronenbeugungsröhre wird der Radius r des inneren Rings für fünf Beschleunigungsspannungen gemessen (Ablesegenauigkeit ±0,03 cm).
| U in kV | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 |
|---|---|---|---|---|---|
| r in cm | 2,00 | 1,64 | 1,42 | 1,26 | 1,15 |
Prüfen Sie die Vermutung r ~ 1/√U, indem Sie das Produkt r·√U bilden. Arbeiten Sie die Kette Schritt für Schritt ab.
So geht’s: Dezimalkomma benutzen, nur die Zahl eintragen. Mit Enter im Feld prüfst du direkt. Der nächste Schritt öffnet sich erst, wenn der vorige stimmt.
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Vorhersage: r(8,0 kV) = 2,83 / √8,0 = 1,00 cm. Kontrolle über das Verhältnis: von 2,0 kV auf 8,0 kV ist die vierfache Spannung, also der halbe Radius — 2,00 cm : 2 = 1,00 cm. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Wichtig für die Deutung: Eine Konstante über fünf Messpunkte ist ein Argument, kein Beweis. Sie zeigt, dass die Daten zum Wellenmodell passen — abprallende Kugeln hätten gar keinen scharfen Ring geliefert.
Bei U1 = 400 V misst man am inneren Ring r1 = 3,6 cm. Der Ring soll auf ein Drittel schrumpfen, also auf r2 = 1,2 cm.
a) Stellen Sie am Regler die Spannung ein, bei der der Ring den Zielradius erreicht. Der angezeigte Radius folgt r = r1·√(U1/U). Eine Abweichung von etwa ±150 V wird noch als Treffer gewertet.
b) Beurteilen Sie außerdem: Auf wie viel Prozent des ursprünglichen Radius sinkt der Ring, wenn man die Spannung lediglich verdoppelt?
Bedienung: Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten in 50-V-Schritten verschieben (Pos1 und Ende springen an die Enden). Der Ring rechts folgt deiner Einstellung, der gestrichelte Kreis zeigt das Ziel.
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b) Bei doppelter Spannung ist r2/r1 = 1/√2 = 0,707 ≈ 71 %.
Genau hier sitzt einer der häufigsten Fehler: „Doppelte Spannung halbiert den Ring“ ist falsch — es bleiben 71 % übrig. Erst die vierfache Spannung halbiert den Radius, die neunfache drittelt ihn. Weil r ~ λ gilt, sinkt mit dem Radius immer auch die de-Broglie-Wellenlänge im selben Verhältnis.
Für beschleunigte Elektronen lässt sich die de-Broglie-Wellenlänge direkt aus der Spannung berechnen. Setzen Sie die Herleitung aus den Bausteinen zusammen — zwei Bausteine bleiben übrig.
1. Die im Feld aufgenommene Energie steckt vollständig in der Bewegungsenergie: e·U =
2. Nach der Geschwindigkeit aufgelöst: v =
3. Eingesetzt in λ = h/(me·v) ergibt sich λ =
Wenden Sie die fertige Formel an: U = 4,0 kV, h = 6,626·10−34 Js, me = 9,11·10−31 kg, e = 1,602·10−19 C.
So geht’s: Einen Baustein anklicken, dann die Lücke — oder mit Tab auf eine Lücke gehen und die Ziffer des Bausteins tippen. Backspace leert eine Lücke wieder.
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Zahlenwerte bei U = 4,0 kV: v = 3,75·107 m/s (rund 12,5 % der Lichtgeschwindigkeit), λ = 1,9·10−11 m = 19 pm.
Verglichen mit dem Netzebenenabstand von Graphit: λ/d = 1,9·10−11 / 2,1·10−10 = 0,092. Über die Gitterbedingung sin α = λ/d gehört dazu ein Beugungswinkel von etwa 5,3°.
Diese Formel erklärt auch das Elektronenmikroskop: hohe Spannung → kurze Wellenlänge → feine Auflösung. Zum Vergleich: sichtbares Licht mit 550 nm hätte λ/d = 2,6·103 — mit sin α > 1 ist Beugung am Graphitgitter damit unmöglich.
Die Kette U → λ → Δy im Griff
Ziehen Sie die Beschleunigungsspannung durch und beobachten Sie, wie sich Geschwindigkeit, Wellenlänge und Streifenabstand gemeinsam ändern. Gerechnet wird mit λ = h/√(2·me·e·U) und Δy = L·λ/d für den Aufbau aus A5 (d = 50 nm, L = 0,40 m). Das Streifenbild rechts ist maßstäblich: Verdoppelt sich Δy, verdoppelt sich der Abstand der hellen Streifen. Dieses Werkzeug wird nicht bewertet.
Bedienung: Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten in 0,5-kV-Schritten verändern (Pos1/Ende springen an die Enden). Es wird nichts animiert — jedes Bild erscheint sofort.
Erwartungswert und Streuung
Dieselben fünf Streifen wie in A7, dieselben Wahrscheinlichkeiten 0,05 / 0,20 / 0,50 / 0,20 / 0,05. Der helle Umriss zeigt den Erwartungswert P·N, die gefüllte Säule eine gewürfelte Messung. Wählen Sie N und würfeln Sie mehrfach: Die absolute Abweichung wächst mit √N, die relative sinkt mit 1/√N. Genau das ist gemeint, wenn es heißt, der Einzelfall bleibe offen, die Verteilung sei aber sehr genau vorhersagbar. Dieses Werkzeug wird nicht bewertet.
Bedienung: Mit Tab zu den Schaltern, dann Enter oder Leertaste. Jedes Bild erscheint sofort, es wird nichts animiert.
Reflexion — bevor Sie weitergehen
Drei Fragen zum Nachdenken — beantworten Sie sie für sich selbst.
- 1. Wurzel und Quadrat:In A1, A2 und A5 stand eine Wurzel im Spiel (r ~ λ ~ 1/√U), in A8 und A9 ein Quadrat (P ~ |ψ|²). Bei welcher der beiden Regeln greifen Sie noch zum falschen Faktor — und woran erkennen Sie in der Aufgabenstellung, welche gemeint ist?
- 2. Rechenketten:Die Ketten in A4, A6 und A7 haben je drei bis vier Schritte. An welcher Stelle ist Ihnen ein Zwischenergebnis gekippt — bei der Zehnerpotenz, bei der Einheit oder beim Umstellen der Formel?
- 3. Von der Zahl zur Aussage:A6 endet mit 1,5·10−5, A9 mit 2,0 %. Beide Zahlen sind erst dann eine Antwort, wenn Sie sie in einen Satz übersetzen. Formulieren Sie beide Sätze — und prüfen Sie, ob darin wirklich eine physikalische Aussage steckt.