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Kernphysik

Zehn Aufgaben quer durch Kapitel 8: Zerfallsreihen, Zerfallsgesetz, Zählrohr, Halbleiterdetektor und Spektren. Bekannte Verfahren, neue Situationen — mit gestuften Hilfen, wenn es hakt.

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Werkzeug — der Zerfalls-Prüfstand

Das Zerfallsgesetz für sechs reale Nuklide: Der Prüfstand zeigt Restanteil, Aktivität und Zerfallskonstante — die vier Größen aus \(A(t)=A_0\cdot\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}\) und \(\lambda=\tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\).

Zerfallskurve ablesen

Zeit t (in Halbwertszeiten) Aktivität A in MBq Tc-99m
Zeit t0 h
n = t / T½0,00
Restanteil (½)n100 %
Aktivität A(t)600 MBq
Zerfallskonstante λ0,116 h⁻¹
Halbwertszeit T½6,0 h

Bei genau 4 Halbwertszeiten liegt der Restanteil bei 6,25 % — nicht bei 0 %. Nach 10 Halbwertszeiten sind es noch rund 0,1 %.

1

Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben aus allen neun Unterkapiteln. Jede verlangt mehrere Schritte: bekannte Verfahren auf eine neue Situation anwenden, zwischen Tabelle, Diagramm und Formel wechseln und das Ergebnis begründen. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Zickzack in der Nuklidkarte — von U-238 bis Ra-226
AFB II

Rechts siehst du einen Ausschnitt der Nuklidkarte: waagerecht die Neutronenzahl \(N\), senkrecht die Protonenzahl \(Z\). Eingezeichnet sind die sechs ersten Glieder der Uran-Radium-Reihe. Die Farbe verrät die dominante Zerfallsart (gelb \(=\alpha\), blau \(=\beta^-\)).

a) Bringe die sechs Nuklide in die richtige Zerfallsreihenfolge — klicke sie nacheinander an, beginnend beim Mutternuklid \({}^{238}_{\ 92}\mathrm{U}\).

b) Werte die Kette aus — zuerst über die Massenzahl, danach über die Kernladungszahl.

Stück
Stück
Neutronen
Ansatz: Zug-Tabelle. \(\alpha\): 2 Spalten nach links, 2 Zeilen nach unten (\(A-4\), \(Z-2\)). \(\beta^-\): 1 Spalte nach links, 1 Zeile nach oben (\(A\) bleibt, \(Z+1\)). Merksatz: „ΔA zuerst!" — nur \(\alpha\) ändert die Massenzahl.
Rechenweg: \(\Delta A = 238-226 = 12\), und jeder \(\alpha\)-Zerfall nimmt 4 Nukleonen mit: \(12:4 = 3\) \(\alpha\)-Schritte. Diese drei senken \(Z\) um \(3\cdot 2 = 6\), also von 92 auf 86. Ziel ist aber \(Z = 88\) — es fehlen \(+2\), und jeder \(\beta^-\)-Zerfall bringt \(+1\): also 2 \(\beta^-\)-Schritte. Neutronenzahl: \(N = A - Z = 226 - 88\).
Lösung: Reihenfolge U-238 → Th-234 → Pa-234 → U-234 → Th-230 → Ra-226; 3 \(\alpha\)-Zerfälle, 2 \(\beta^-\)-Zerfälle, \(N = 138\).
Vollständige Lösung
Die Folge lautet \({}^{238}_{\ 92}\mathrm{U}\xrightarrow{\alpha}{}^{234}_{\ 90}\mathrm{Th}\xrightarrow{\beta^-}{}^{234}_{\ 91}\mathrm{Pa}\xrightarrow{\beta^-}{}^{234}_{\ 92}\mathrm{U}\xrightarrow{\alpha}{}^{230}_{\ 90}\mathrm{Th}\xrightarrow{\alpha}{}^{226}_{\ 88}\mathrm{Ra}\) — also \(\alpha,\ \beta^-,\ \beta^-,\ \alpha,\ \alpha\), zusammen 3 \(\alpha\) und 2 \(\beta^-\). Kontrolle über die Doppelbilanz: \(238 - 4\cdot 3 = 226\ \checkmark\) und \(92 - 2\cdot 3 + 1\cdot 2 = 88\ \checkmark\). Für Radium-226 gilt \(N = A - Z = 226 - 88 = 138\).
Begründung — warum nach zwei \(\beta^-\)-Schritten wieder Uran dasteht
Beim \(\beta^-\)-Zerfall wird im Kern ein Neutron zu einem Proton; die negative Ladung verlässt den Kern als Elektron. \(Z\) steigt also um 1 (der häufigste Denkfehler ist „\(Z\) sinkt, weil etwas Negatives austritt"). Zweimal \(\beta^-\) hebt \(Z\) von 90 über 91 auf 92 — das ist wieder Uran, aber \(A = 234\) statt 238: dasselbe Element, ein anderes Isotop, vier Nukleonen leichter. Auf der Karte ist das der charakteristische Zickzack: ein Schritt schräg nach unten links (\(\alpha\)), dann zwei Schritte schräg nach oben links (\(\beta^-\)). Weil \(\alpha\) die Massenzahl um 4 und \(\beta^-\) sie gar nicht ändert, bleibt der Rest \(A \bmod 4\) erhalten: \(238 = 4\cdot 59 + 2\) und \(226 = 4\cdot 56 + 2\) — beide gehören zur Reihe \(4n+2\), der Uran-Radium-Reihe.
9291908988 138140142144146 Neutronenzahl N Z U238 Th234 Pa234 U234 Th230 Ra226 α-Strahler β⁻-Strahler
Ausschnitt der Nuklidkarte
A2
Halbwertszeit aus einer Messreihe herausholen
AFB II

Im Praktikum wird alle 75 s die Zählrate \(n\) eines Präparats gemessen. Die Werte sind bereits um den Nulleffekt korrigiert und gerundet:

M1 — nulleffektkorrigierte Zählrate
\(t\) in s075150225300375450
\(n\) in 1/s4803402401701208560

a) Bestimme die Halbwertszeit aus der Tabelle. b) Berechne, welche Zählrate nach \(t = 900\,\mathrm{s}\) zu erwarten ist. c) Gib die Zerfallskonstante an — trage den Zahlenwert in \(10^{-3}\,\mathrm{s^{-1}}\) ein.

s
1/s
· 10⁻³ 1/s
Ansatz: Suche in der Tabelle einen Wert und seine Hälfte und lies die Zeitspanne dazwischen ab — Quotienten prüfen, nicht Differenzen. Für b) zählst du, wie viele Halbwertszeiten in 900 s passen, und halbierst so oft. Für c) gilt \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\) mit \(\ln 2 \approx 0{,}693\).
Rechenweg: \(480 \to 240\) dauert von 0 s bis 150 s, \(240 \to 120\) von 150 s bis 300 s, \(120 \to 60\) von 300 s bis 450 s — immer 150 s. Dann \(n = t/T_{1/2} = 900/150 = 6\) und \(n(900\,\mathrm{s}) = 480\cdot\left(\tfrac12\right)^{6} = 480/64\). Schließlich \(\lambda = 0{,}693/150\,\mathrm{s}\).
Lösung: a) \(T_{1/2} = 150\,\mathrm{s}\). b) \(n = 7{,}5\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\). c) \(\lambda \approx 4{,}6\cdot 10^{-3}\,\mathrm{s^{-1}}\).
Vollständige Lösung
a) Die Ablesung gelingt dreimal und liefert jedes Mal denselben Wert: 480 → 240 (0 s bis 150 s), 240 → 120 (150 s bis 300 s), 120 → 60 (300 s bis 450 s). Also \(T_{1/2} = 150\,\mathrm{s}\). Dass jede Ablesestelle denselben Wert ergibt, ist die Kern-Eigenschaft der Zerfallsfunktion — ein Zeitschritt \(T_{1/2}\) bedeutet immer \(\times\tfrac12\), egal wo man startet.
b) \(900\,\mathrm{s} : 150\,\mathrm{s} = 6\) Halbwertszeiten, also \(n = 480\cdot\left(\tfrac12\right)^6 = \dfrac{480}{64} = 7{,}5\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\) — das sind noch rund 1,6 % der Anfangsrate.
c) \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{150\,\mathrm{s}} = 4{,}62\cdot 10^{-3}\,\mathrm{s^{-1}}\).
Begründung — „Nach 6 Halbwertszeiten ist alles zerfallen"?
Die Aussage ist falsch. Nach 6 Halbwertszeiten liegt die Rate bei 7,5 1/s — weit über dem Nulleffekt von etwa 0,4 1/s und damit klar messbar. Der Grund ist die Asymptoten-Eigenschaft: In jeder Halbwertszeit fällt nicht ein fester Betrag weg, sondern die Hälfte des jeweils noch vorhandenen Bestands. \(\left(\tfrac12\right)^{n}\) wird beliebig klein, erreicht aber für kein endliches \(t\) den Wert null. Erst nach rund 10 Halbwertszeiten sind noch etwa 0,1 % übrig — „praktisch weg", aber eben nicht „nichts".
A3
Technetium-99m — von \(T_{1/2}\) zu \(\lambda\), \(A\) und \(N_0\)
AFB II

Für eine Skelett-Szintigrafie wird \({}^{99\mathrm{m}}\mathrm{Tc}\) gespritzt: \(T_{1/2} = 6{,}0\,\mathrm{h}\), Aktivität bei der Injektion \(A_0 = 600\,\mathrm{MBq}\). Es ist ein reiner \(\gamma\)-Strahler (140 keV), die Kamera steht außerhalb des Körpers.

a) Berechne die Zerfallskonstante in \(\mathrm{s^{-1}}\) — trage den Zahlenwert in \(10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}\) ein. b) Welche Aktivität hat das Präparat 24 h nach der Injektion? c) Wie viele \({}^{99\mathrm{m}}\mathrm{Tc}\)-Kerne wurden gespritzt? Trage den Zahlenwert in \(10^{13}\) Kernen ein.

· 10⁻⁵ 1/s
MBq
· 10¹³ Kerne
Ansatz: Für eine Aktivität in Bq muss \(\lambda\) in \(\mathrm{s^{-1}}\) stehen — rechne die Halbwertszeit also zuerst in Sekunden um (1 h = 3600 s). Bei b) ist 24 h ein glattes Vielfaches von 6,0 h: erst in \(T_{1/2}\) denken, dann halbieren statt die e-Funktion zu bemühen. Bei c) hilft \(A = \lambda\cdot N\), umgestellt \(N_0 = A_0/\lambda\).
Rechenweg: \(T_{1/2} = 6{,}0\cdot 3600\,\mathrm{s} = 2{,}16\cdot 10^{4}\,\mathrm{s}\); \(\lambda = 0{,}693 / 2{,}16\cdot 10^{4}\,\mathrm{s}\). — \(24\,\mathrm{h} : 6{,}0\,\mathrm{h} = 4\) Halbwertszeiten, also \(A = 600\,\mathrm{MBq}\cdot\tfrac{1}{16}\). — \(N_0 = \dfrac{6{,}00\cdot 10^{8}\,\mathrm{Bq}}{3{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}}\) (600 MBq = \(6{,}00\cdot 10^{8}\) Bq).
Lösung: a) \(\lambda = 3{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}\). b) \(A = 37{,}5\,\mathrm{MBq}\). c) \(N_0 \approx 1{,}9\cdot 10^{13}\) Kerne.
Vollständige Lösung
a) \(T_{1/2} = 6{,}0\,\mathrm{h} = 2{,}16\cdot 10^{4}\,\mathrm{s}\), also \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{2{,}16\cdot 10^{4}\,\mathrm{s}} = 3{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}\). Wer die Stunden stehen lässt, bekommt \(\lambda\) in \(\mathrm{h^{-1}}\) und ein um den Faktor 3600 falsches Ergebnis.
b) \(n = 24\,\mathrm{h} : 6{,}0\,\mathrm{h} = 4\), also \(A = 600\,\mathrm{MBq}\cdot\left(\tfrac12\right)^4 = 600\,\mathrm{MBq}/16 = 37{,}5\,\mathrm{MBq}\) — ganz ohne Taschenrechner.
c) \(A_0 = \lambda\cdot N_0 \Rightarrow N_0 = \dfrac{A_0}{\lambda} = \dfrac{6{,}00\cdot 10^{8}\,\mathrm{Bq}}{3{,}2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}} \approx 1{,}9\cdot 10^{13}\) Kerne.
Begründung — warum ausgerechnet sechs Stunden gut passen
Die Halbwertszeit ist ein Kompromiss. Sie muss lang genug sein für Herstellung, Transport, Injektion und Anreicherung im Knochen: bei der Aufnahme rund 2 h nach der Injektion sind noch etwa 79 % der Anfangsaktivität da, das Bild wird hell genug. Sie muss zugleich kurz genug sein, damit der Patient die Aktivität schnell wieder los ist: nach einem Tag ist nur noch \(\tfrac{1}{16}\) übrig, nach zwei Tagen weniger als 0,4 %. Ein Diagnostiknuklid muss schnell verschwinden — für eine Datierung wäre genau dieselbe Halbwertszeit unbrauchbar, dort braucht man \(T_{1/2}\) in der Größenordnung des gesuchten Alters.

Reflexion — bevor du weitergehst

Drei Fragen zum Nachdenken — antworte für dich selbst.

  • 1. Faktoren statt Differenzen:In A2, A3 und A10 ging es immer um wiederholtes Halbieren. Bei welcher Aufgabe warst du versucht, stattdessen einen festen Betrag abzuziehen oder zu dividieren — und woran hättest du den Fehler sofort erkannt?
  • 2. Einheiten und Zehnerpotenzen:\(\lambda\) in \(\mathrm{s^{-1}}\) statt \(\mathrm{h^{-1}}\), keV statt MeV, Impulse statt Impulse pro Sekunde: Welche Umrechnung hat dich am meisten Zeit gekostet? Notiere dir die drei Faktoren, die du dir merken willst.
  • 3. Gerät oder Strahlung?Peakbreite, Plateau, Totzeit, Nulleffekt — das sind Eigenschaften des Messgeräts. Linienlage, Bandform und Halbwertszeit gehören zur Strahlung. Bei welcher Aufgabe war diese Trennung der eigentliche Schlüssel zur Begründung?