Aufgabenblock — AFB III
Auf dieser Stufe reicht es nicht, eine Formel zu bedienen. Du sollst verallgemeinern und reflektieren: eine Modellaussage begründen, eine Messreihe deuten, eine Hypothese prüfen, eine Behauptung aus dem Kurs entkräften — und sagen, wofür ein Modell taugt und wo seine Grenze liegt. Gerechnet wird nur dort, wo die Zahl das Argument trägt. Bei jeder Aufgabe gibt es zwei gestufte Tipps (Strategie → Lösungsskizze) und eine Musterlösung zum Aufklappen; erst selbst denken, dann aufklappen — das Aufklappen zählt als erledigt. Rechne mit \(h\,c = 1240\,\text{eV⋅nm}\) und gib Dezimalzahlen mit Komma ein.
Ein Kurs will das Wasserstoffatom als eindimensionalen Potenzialtopf rechnen und setzt für die Topfbreite den Atomdurchmesser im Grundzustand an: \(L = 0{,}106\,\text{nm}\). Das Modell liefert damit \(W_1 = +33{,}5\,\text{eV}\) und \(W_2 = +134\,\text{eV}\). Die Messung am echten Wasserstoffatom ergibt für \(1\to 2\) dagegen \(\Delta W = 10{,}20\,\text{eV}\) und \(\lambda = 122\,\text{nm}\).
- a) Berechne die beiden fehlenden Topfwerte \(\Delta W_{1\to 2}\) und \(\lambda\).
- b) Vergleiche mit der Messung und nenne zwei Eigenschaften des Wasserstoffatoms, die der Topf grundsätzlich nicht abbilden kann.
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a) \(\Delta W_{1\to 2} = W_2 - W_1 = 134\,\text{eV} - 33{,}5\,\text{eV} = \) 100,5 eV (gleichwertig \(3W_1 = 3\cdot 33{,}5\,\text{eV}\)). Daraus \(\lambda = \dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{100{,}5\,\text{eV}} \approx\) 12,3 nm.
b) Vergleich: Gemessen sind 10,20 eV und 122 nm — der Topf liegt also in beiden Größen um rund den Faktor 10 daneben. Dazu kommt das falsche Vorzeichen: Topfenergien sind positiv, die Niveaus des Atoms negativ (gebunden).
Zwei prinzipielle Grenzen:
- Keine Ionisierungsgrenze. Die Wände sind unendlich hoch, die Energien wachsen grenzenlos. Das Atom hat dagegen eine feste Ionisierungsenergie von 13,60 eV und oberhalb \(W=0\) ein Kontinuum.
- Falscher Trend der Stufen. Der Topf spreizt die Niveaus mit \(+n^2\) nach oben, das Atom staucht sie mit \(-\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\) zusammen — daher die Häufung der Balmer-Linien an der Seriengrenze.
Zusätzlich fehlen dem 1D-Topf die drei Raumrichtungen: die nach außen schwächer werdende Kernanziehung und die Orbitalformen. Zu jeder Quantenzahl gehört im Topf nur ein einziger Zustand.
Nach dem Vergleich aus A1 diskutiert der Kurs. Zwei Stimmen stehen im Raum:
- a) Beurteile beide Aussagen in je zwei bis drei Sätzen. Sage jeweils, was zutrifft und wo das Argument nicht trägt.
- b) Formuliere in einem Satz, welche Frage man einem Modell statt „Stimmt es?“ stellen sollte.
- c) Entwickle drei Anforderungen, die ein besseres Atommodell erfüllen muss, und gib zu jeder einen Beleg aus der Messung an.
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a) Lena — greift zu kurz. Richtig ist ihr Befund: Für das Wasserstoffatom ist der Topf unbrauchbar. Falsch ist die Folgerung. Modelle sind nicht wahr oder falsch, sondern zweckgebunden: Sie haben einen Gültigkeitsbereich. Der Topf bringt Quantisierung, Randbedingung und Materiewellen-Vorstellung bereits richtig mit — ausgetauscht werden muss nur der Rahmen (das Potenzial). Für langgestreckte Farbstoffketten liefert er sogar belastbare Zahlen.
a) Tarek — verharmlost. Richtig ist, dass die Farbstoffrechnung gut passt. Falsch ist „kleine Ungenauigkeit“: Ein Faktor 10 und ein umgedrehtes Vorzeichen sind kein Rundungsfehler, sondern ein systematisches Scheitern — der Topf spreizt die Stufen, das Atom staucht sie. Und ein Elektron im Feld eines Kerns ist kein Sonderfall, sondern der Regelfall. Ein Teilerfolg ist kein Freibrief für alle Systeme.
b) Die bessere Frage: Nicht „Stimmt das Modell?“, sondern „Wofür stimmt es — und wo liegt seine Grenze?“
c) Anforderungen an ein besseres Atommodell:
- Nach außen schwächer werdende Kernanziehung statt steiler Wände. Beleg: Das Atom hat eine endliche Ionisierungsenergie von 13,60 eV, oberhalb \(W=0\) liegt ein Kontinuum.
- Nach oben zusammenrückende Niveaus \(W_n\sim -\frac{1}{n^2}\). Beleg: Die Balmer-Linien häufen sich zur Seriengrenze bei 365 nm — sie rücken nach kurzen Wellenlängen zusammen.
- Dreidimensionale Beschreibung. Beleg: Das Atom ist kugelsymmetrisch, und zu einer Quantenzahl gehören mehrere Zustände (Bahndrehimpuls, Orbitalformen) — im 1D-Topf gibt es zu jedem \(n\) nur einen einzigen.
Alle drei Anforderungen erfüllt erst ein Modell der Materiewelle im Feld des Kerns (Orbitalmodell). Das Scheitern des Topfs ist damit kein Unglück, sondern ein Wegweiser: Es zeigt genau, was ein besseres Modell mitbringen muss.
An vier Nanodrähten wurde die Energie des Übergangs \(1\to 2\) gemessen. Das Kastenmodell sagt \(\Delta W_{1\to 2} = 3W_1 \sim \dfrac{1}{L^2}\) voraus — also müsste das Produkt \(\Delta W\cdot L^2\) für alle Drähte denselben Wert haben.
| Draht | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| L in nm | 1,00 | 1,50 | 2,00 | 3,00 |
| ΔW1→2 in eV | 1,10 | 0,49 | 0,29 | 0,12 |
| ΔW·L² in eV·nm² | 1,10 | 1,10 | 1,16 | ? |
- a) Ergänze die Prüfgröße für Draht D.
- b) Beurteile, ob die Messreihe die Hypothese stützt — und was die Streuung von unter ±5 % um den Mittelwert 1,11 eV·nm² beweist und was nicht.
- c) Ein Team will einen Draht bauen, der rotes Licht mit \(\lambda = 650\,\text{nm}\) aussendet. Berechne die nötige Länge \(L\) und nimm Stellung, ob das Modell dort noch trägt.
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a) \(\Delta W\cdot L^2 = 0{,}12\,\text{eV}\cdot (3{,}00\,\text{nm})^2 = 0{,}12\cdot 9{,}00 = \) 1,08 eV·nm².
b) Beurteilung: Die vier Werte 1,10 · 1,10 · 1,16 · 1,08 eV·nm² streuen um weniger als ±5 % um den Mittelwert 1,11 eV·nm², und der theoretische Wert \(3\cdot 0{,}376 = 1{,}128\,\text{eV⋅nm}^2\) liegt mitten in diesem Streuband. Über eine Längenspanne von 1,00 nm bis 3,00 nm ändert sich \(\Delta W\) um fast den Faktor 10 — dass die Prüfgröße dabei konstant bleibt, ist ein starkes Argument für die \(1/L^2\)-Abhängigkeit.
Was das nicht beweist: Bestätigt ist damit nur die Skalierung im untersuchten Bereich, nicht das Modell als Ganzes. Die Messreihe sagt nichts darüber, ob die Wände wirklich unendlich hoch sind, ob es einen Ionisierungsrand gibt oder ob die Beschreibung außerhalb von 1–3 nm noch trägt. Vier Punkte in einem schmalen Fenster sind kein Beleg für Allgemeingültigkeit — eine Hypothese wird durch Messungen gestützt, nie endgültig bewiesen.
c) Rechnung: \(\Delta W = \dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{650\,\text{nm}} \approx 1{,}91\,\text{eV}\); daraus \(L^2 = \dfrac{1{,}128\,\text{eV⋅nm}^2}{1{,}91\,\text{eV}} \approx 0{,}59\,\text{nm}^2\), also \(L \approx\) 0,77 nm.
Stellungnahme: 0,77 nm entspricht nur rund sieben bis acht Atomdurchmessern (ein Atom misst etwa 0,1 nm). Auf dieser Skala sind die Modellannahmen kaum noch haltbar: Es gibt keinen glatten Kasten mehr, sondern einzelne Atomrümpfe, das Potenzial ist nicht flach, und die Wände sind nicht unendlich hoch. Die Rechnung liefert also eine Größenordnung, aber keine belastbare Bauvorschrift — extrapoliert wurde weit über den geprüften Bereich hinaus.
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III heißt bei der Atomhülle: nicht nur rechnen, sondern das Ergebnis einordnen. Du hast geübt:
- Modellgrenzen benennen — der Potenzialtopf erklärt das Prinzip und trifft Farbstoffketten, scheitert am Wasserstoffatom aber systematisch (100,5 eV statt 10,20 eV) und mit dem falschen Vorzeichen.
- Messreihen deuten — konstantes \(\Delta W\cdot L^2\) stützt die \(1/L^2\)-Abhängigkeit im geprüften Fenster, beweist aber nicht das ganze Modell; die Ausgleichsgerade der Franck-Hertz-Werte liefert Anregungsenergie (Steigung) und systematischen Fehler (Achsenabschnitt) in einem Schritt.
- Gegenargumente entkräften — „ein bisschen dazwischen geht auch“, „die Energie ist vernichtet“, „mehr Anregungsenergie heißt mehr Schichten“: Jedes dieser Argumente scheitert an einer festen Stelle im Formelbild.
- Nachweislogik anwenden — das Vorhandensein einer Linie beweist, ihr Fehlen nicht; sichtbare Linien geben nur eine untere Schranke für die Zahl der Niveaus, denn \(Z=\frac{N(N-1)}{2}\) wächst viel schneller als \(N\).
- Gültigkeitsbereiche trennen — Wien und Stefan-Boltzmann gelten für den heißen dichten Körper, Niveaudifferenzen für das dünne Gas. Wer die Gesetze vertauscht, erhält saubere Zahlen ohne Bedeutung.
In der Klausur zählt bei AFB III der Begründungssatz. Faustregel: erst rechnen, dann die Richtung prüfen (großes ΔW = kurze Welle), und bei Modellfragen nie „richtig/falsch“ antworten, sondern wofür das Modell taugt und wo seine Grenze liegt.