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Der Zeigerformalismus

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Der Schatten auf der Drehscheibe

AFB II

Auf einer waagerecht liegenden Drehscheibe steckt ein dünner Stift im Abstand \(\hat{y}=6{,}0\,\mathrm{cm}\) von der Drehachse. Die Scheibe dreht sich gleichmäßig mit der Umlaufdauer \(T=2{,}4\,\mathrm s\). Eine weit entfernte Lampe wirft den Schatten des Stiftes auf eine Wand; dieser Schatten bewegt sich auf der Wand hin und her. Zum Zeitpunkt \(t=0\) liegt der Stift genau in der Ruhelage des Schattens. Material M1 zeigt eine Momentaufnahme im Zeigermodell.

M1Momentaufnahme des Zeigerdiagramms
x y φ ŷ y Zeigerlänge: ŷ = 6,0 cm Umlaufdauer: T = 2,4 s abgelesen: φ = 60°

Der Zeiger dreht sich gleichmäßig gegen den Uhrzeigersinn. Die senkrechte Projektion seiner Spitze (oranger Balken) ist die momentane Auslenkung \(y\) des Schattens.

  1. Berechnen Sie die Kreisfrequenz der Schattenbewegung und geben Sie die Zeit-Ort-Funktion \(y(t)\) des Schattens mit Zahlenwerten an.
  2. Ermitteln Sie aus M1 die zum dargestellten Phasenwinkel gehörende Auslenkung des Schattens und berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem diese Momentaufnahme entstanden ist.
  3. Erklären Sie mithilfe des Zeigermodells, warum der Schatten die Ruhelage mit der größten Geschwindigkeit durchläuft, in den Umkehrpunkten aber kurzzeitig stehenbleibt — obwohl sich der Zeiger die ganze Zeit über gleichmäßig dreht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Umlaufdauer des Zeigers ist zugleich die Periodendauer der Schwingung. Also \(\omega=\frac{2\pi}{T}\). Die Zeit-Ort-Funktion einer in der Ruhelage startenden Schwingung lautet \(y(t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega t)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Für die Auslenkung gilt \(y=\hat{y}\cdot\sin\varphi\) — hier darfst du mit Gradmaß rechnen. Für den Zeitpunkt brauchst du dagegen \(\varphi=\omega t\) im Bogenmaß: \(60^\circ\,\hat{=}\,\frac{\pi}{3}\).Alternativ ohne Bogenmaß: Ein voller Umlauf \((360^\circ)\) dauert \(T\); \(60^\circ\) sind ein Sechstel davon.
Hinweis zu Aufgabe c)
Betrachte, wie schnell sich die Projektion der Zeigerspitze ändert. Zeichne dazu gedanklich den Zeiger einmal senkrecht (Umkehrpunkt) und einmal waagerecht (Ruhelage) und drehe ihn jeweils um denselben kleinen Winkel weiter.