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Die Membran eines Lautsprechers
AFB IIEin Lautsprecher wird mit einem reinen Sinuston betrieben (Material M1). Seine Membran führt dabei eine harmonische Schwingung um die Ruhelage aus. Die zugehörigen Daten sind dem Datenblatt in Material M2 zu entnehmen. Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich die Membran in der Ruhelage und bewegt sich nach vorn.
M1Aufbau eines Lautsprechers
Die Schwingspule sitzt im Feld des Dauermagneten und zieht die Membran im Takt des Tonsignals hin und her. Die Membran schwingt dabei harmonisch um ihre Ruhelage.
M2Auszug aus dem Datenblatt
| Größe | Wert |
|---|---|
| Frequenz \(f\) | \(200\,\mathrm{Hz}\) |
| Amplitude \(\hat{y}\) | \(0{,}60\,\mathrm{mm}\) |
| Lage bei \(t=0\) | Ruhelage, Bewegung nach vorn |
- Berechnen Sie die Periodendauer und die Kreisfrequenz der Membranschwingung und geben Sie die Zeit-Ort-Funktion \(y(t)\) mit Zahlenwerten an.
- Berechnen Sie die Auslenkung der Membran zum Zeitpunkt \(t=1{,}0\,\mathrm{ms}\) und begründen Sie, warum der Taschenrechner dabei auf das Bogenmaß eingestellt sein muss.
- Ermitteln Sie den ersten Zeitpunkt nach \(t=0\), zu dem die Membran ihre größte Auslenkung erreicht, und zeigen Sie, dass dieser Zeitpunkt einem Viertel der Periodendauer entspricht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Zuerst \(T=\frac{1}{f}\), dann \(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\). Die Zeit-Ort-Funktion einer in der Ruhelage startenden harmonischen Schwingung lautet \(y(t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega t)\); setze dort \(\hat{y}\) und \(\omega\) mit Einheiten ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne \(1{,}0\,\mathrm{ms}=1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm s\). Bestimme zunächst das Produkt \(\omega t\) — dieses Produkt ist ein Winkel im Bogenmaß, keine Gradzahl.„Begründen“ verlangt hier den Rückgriff auf die Einheit von \(\omega\): \(\left[\omega\right]=\tfrac{1}{\mathrm s}\), also liefert \(\omega t\) eine reine Zahl — und reine Zahlen im Sinus sind Bogenmaß.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die größte Auslenkung liegt vor, wenn \(\sin(\omega t)=1\) ist. Der kleinste positive Winkel mit diesem Sinuswert ist \(\frac{\pi}{2}\). Stelle \(\omega t=\frac{\pi}{2}\) nach \(t\) um.