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Die Lorentzkraft

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Elektronenstrahl im Querfeld

AFB I–II

In einer evakuierten Elektronenstrahlröhre treten Elektronen aus einer Glühkathode aus und werden von der Beschleunigungsspannung \(U = 200\,\mathrm V\) auf ihre Endgeschwindigkeit gebracht (Material M1). Anschließend fliegen sie durch ein Feldgebiet der Länge \(10\,\mathrm{cm}\), in dem ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte \(B = 1{,}5\,\mathrm{mT}\) senkrecht in die Zeichenebene hineinzeigt. Die Geschwindigkeit der Elektronen steht dort senkrecht auf der Feldrichtung.

Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\) und \(g = 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\).

M1Elektron beim Eintritt in ein homogenes Magnetfeld
Elektronenstrahl in der evakuierten Röhre (Blick von der Seite) B = 1,5 mT U = 200 V Elektronenkanone v gekrümmte Bahn F Kraft auf das Elektron B in die Ebene hineinElektron, negativ Feldbereich 10 cm

Gezeichnet ist der Augenblick des Eintritts. Die Lorentzkraft steht in jedem Bahnpunkt senkrecht auf der Geschwindigkeit und krümmt deshalb die Bahn (gestrichelt angedeutet). Die Gewichtskraft des Elektrons ist nicht eingezeichnet.

  1. Geben Sie die Richtung der Kraft, die im Eintrittspunkt auf ein Elektron wirkt, an und begründen Sie Ihre Antwort mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand. Achten Sie dabei auf das Vorzeichen der Ladung.
  2. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen in das Feldgebiet eintreten.
  3. Berechnen Sie den Betrag der Lorentzkraft auf ein einzelnes Elektron.
  4. Vergleichen Sie die Lorentzkraft mit der Gewichtskraft eines Elektrons und begründen Sie damit, dass die Gewichtskraft in solchen Röhren nicht berücksichtigt werden muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Drei-Finger-Regel der rechten Hand wird mit der technischen Stromrichtung benutzt: Daumen = Bewegungsrichtung einer positiven Ladung, Zeigefinger = Feldrichtung, Mittelfinger = Kraftrichtung. Überlege zuerst, wohin der Daumen bei einem Elektron zeigen muss. „Angeben“ verlangt nur das Ergebnis; die Regel gehört in die anschließende Begründung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die gesamte im elektrischen Feld verrichtete Arbeit \(W = e\,U\) steckt anschließend in der kinetischen Energie: \(e\,U = \tfrac12\,m_\text{e}\,v^2\). Löse nach \(v\) auf.
Hinweis zu Aufgabe c)
Geschwindigkeit und Feld stehen senkrecht aufeinander, also \(\sin\alpha = 1\) und \(F = q\,v\,B\). Setze für \(q\) den Betrag der Elementarladung ein und rechne \(1{,}5\,\mathrm{mT}\) in Tesla um.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne \(F_\text{G} = m_\text{e}\,g\) und bilde anschließend das Verhältnis der beiden Kräfte. Ein Zahlenverhältnis ist als Begründung überzeugender als eine Behauptung.