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Elektron in einem Halbleiter-Quantenpunkt
AFB IIIn einem Halbleiter-Quantenpunkt ist ein Elektron auf einen sehr kleinen Bereich eingesperrt. Vereinfachend beschreibt man ihn als eindimensionalen Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden und der Breite \(L = 2{,}0\,\mathrm{nm}\). Material M1 zeigt die drei untersten Zustände. Rechnen Sie mit \(h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\), \(m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\), \(1\,\mathrm{eV} = 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm J\) und \(h\,c = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
M1Stehende Elektronenwellen im Kasten der Breite L
- Geben Sie die Bedingung für die erlaubten Wellenlängen im Potenzialtopf an und begründen Sie sie mithilfe von Material M1.
- Berechnen Sie für den Grundzustand die Wellenlänge \(\lambda_1\), den Impuls \(p_1\) und die Energie \(E_1\).
- Berechnen Sie die Energie und die Wellenlänge des Photons, das beim Übergang von \(n=2\) auf \(n=1\) ausgesandt wird, und ordnen Sie es einem Spektralbereich zu.
- Erläutern Sie, warum der tiefste erlaubte Zustand \(n=1\) und nicht \(n=0\) ist, und welche physikalische Aussage darin steckt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Zähle in M1 die Halbwellen, die jeweils zwischen die Wände passen. An beiden Wänden muss die Wellenfunktion verschwinden.„Begründen“ verlangt die Rückführung auf die Randbedingung — nicht nur das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gehe in drei Schritten vor: erst \(\lambda_1 = 2L\), dann \(p_1 = \frac{h}{\lambda_1}\) (de Broglie), dann \(E_1 = \frac{p_1^{\,2}}{2m_e}\). Rechne \(L\) vorher in Meter um: \(2{,}0\,\mathrm{nm}=2{,}0\cdot 10^{-9}\,\mathrm m\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Energie wächst mit \(n^2\), also ist \(E_2 = 4\,E_1\). Für die Wellenlänge des Photons brauchst du \(\Delta E\) in eV.
Hinweis zu Aufgabe d)
Setze in \(\lambda_n = \frac{2L}{n}\) einmal \(n=0\) ein — was würde das für die Welle bedeuten? Denke außerdem daran, dass \(E_1>0\) ist.