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Die Balmer-Serie berechnen und deuten
AFB IIDie Materialien M1 und M2 zeigen die vier mit bloßem Auge sichtbaren Linien des Wasserstoffs. Für sie gilt die Balmer-Formel \(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\) und \(n=3,4,5,\dots\). Für die Energieniveaus gilt \(E_n=-\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}\); rechnen Sie mit \(hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
M1Gemessene Wellenlängen der vier sichtbaren Wasserstofflinien
| Bezeichnung | Startniveau n | gemessene Wellenlänge λ in nm |
|---|---|---|
| Hα | 3 | 656,3 |
| Hβ | 4 | 486,1 |
| Hγ | 5 | 434,0 |
| Hδ | 6 | 410,2 |
M2Die Balmer-Serie im sichtbaren Spektrum
- Berechnen Sie mit der Balmer-Formel die Wellenlänge der Linie \(\mathrm{H}_\delta\) (\(n=6\)) und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Messwert aus M1.
- Berechnen Sie die Wellenlänge der Seriengrenze und erklären Sie, welcher Übergang ihr entspricht.
- Bestimmen Sie durch Rechnung den Wert des Produkts \(R_H\cdot h\cdot c\) und deuten Sie das Ergebnis physikalisch.
- Begründen Sie anhand von M2, warum die Linien der Serie zur Seriengrenze hin immer dichter zusammenrücken.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne zuerst die Klammer \(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{36}\) aus. Denke am Ende an den Kehrwert und an die Umrechnung von Metern in Nanometer.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(n\to\infty\), dann verschwindet der zweite Bruch. Überlege, wo das Elektron nach diesem Sprung herkommt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(R_H\) in \(\tfrac{1}{\mathrm{m}}\) und \(hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}=1{,}240\cdot10^{-6}\,\mathrm{eV\cdot m}\) ein. Vergleiche das Ergebnis mit einer bekannten Kenngröße des Wasserstoffatoms.
Hinweis zu Aufgabe d)
Betrachte, wie sich die Klammer \(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{n^2}\) verhält, wenn \(n\) von 3 auf 4, dann auf 5, dann auf 6 wächst. „Begründen“ verlangt eine lückenlose Argumentationskette vom Bau der Formel bis zum sichtbaren Bild.