Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Formeln herleiten, rückwärts arbeiten, Behauptungen mit dem Energieerhaltungssatz prüfen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Beurteilen Sie in drei bis vier Sätzen die Aussage aus einer Verkehrsbroschüre: „Wer doppelt so schnell fährt, braucht bei gleicher Bremskraft einen doppelt so langen Bremsweg.“
Hinweis: Setzen Sie \(E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) und die durch Reibung entwertete Energie \(E = F \cdot s\) gleich.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Beim Bremsen wird die gesamte Bewegungsenergie durch Reibung entwertet: \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = F \cdot s\), also \(s = \frac{m \cdot v^2}{2 \cdot F}\). Weil die Geschwindigkeit im Quadrat steht, bewirkt die doppelte Geschwindigkeit die vierfache Bewegungsenergie und damit bei gleicher Bremskraft den vierfachen Bremsweg. Die Broschüre unterschätzt die Gefahr also deutlich: Aus beispielsweise 12 m Bremsweg bei 50 km/h werden bei 100 km/h rund 48 m.
Begründen Sie mithilfe des Energieerhaltungssatzes, dass eine 5-kg-Kugel und eine 0,5-kg-Kugel aus derselben Höhe ohne Luftreibung mit derselben Geschwindigkeit unten ankommen — obwohl die schwere Kugel zehnmal so viel Lageenergie hat.
Hinweis: Schreiben Sie die Gleichung „Lageenergie oben = Bewegungsenergie unten“ allgemein mit Buchstaben auf.
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Musterlösung: Oben hat jede Kugel nur Lageenergie, unten nur Bewegungsenergie, also gilt \(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\). Die Masse steht auf beiden Seiten und kürzt sich heraus; übrig bleibt \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\), in dem keine Masse mehr vorkommt. Die schwere Kugel hat zwar zehnmal so viel Lageenergie, muss damit aber auch die zehnfache Masse in Bewegung setzen — je Kilogramm steht beiden gleich viel Energie zur Verfügung. Deshalb kommen beide gleich schnell an, wie es schon Galilei beschrieben hat.
Entscheiden Sie begründet, ob ein Achterbahnwagen, der oben auf einem 40 m hohen Starthügel fast stillsteht, einen zweiten Hügel von 42 m Höhe überwinden kann. Diskutieren Sie auch, was sich bei einer Startgeschwindigkeit von 10 m/s ändert.
Hinweis: Vergleichen Sie die Gesamtenergie am Start mit der Lageenergie, die oben auf dem zweiten Hügel mindestens nötig ist.
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Musterlösung: Aus dem Stand besitzt der Wagen nur Lageenergie, je Kilogramm 9,81 N/kg · 40 m ≈ 392 J. Um 42 m zu erreichen, bräuchte er je Kilogramm mindestens 9,81 N/kg · 42 m ≈ 412 J. Da Energie nicht aus dem Nichts entsteht, kann er den zweiten Hügel nicht überwinden — selbst ohne Reibung nicht; er rollt vorher zurück. Startet er dagegen mit 10 m/s, kommen je Kilogramm ½ · (10 m/s)² = 50 J Bewegungsenergie hinzu, zusammen etwa 442 J. Ohne Reibung reicht das, der Wagen hätte oben noch rund 30 J je Kilogramm Bewegungsenergie. Weil Reibung einen Teil entwertet, müsste man in der Praxis prüfen, ob dieser Vorrat genügt.