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Maschen im Stromkreis

30 Aufgaben von AFB I bis III: Maschen als geschlossene Umläufe erkennen, in Schaltplänen abzählen und von Knoten und Zweigen unterscheiden.

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Übungsaufgaben

Dreißig Aufgaben, bunt gemischt — zum Klicken, Ziehen, Zuordnen, Rechnen und Knobeln. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps. Die Chips zeigen das Anforderungsniveau: AFB I heißt wiedergeben und direkt anwenden, AFB II heißt selbst entscheiden und verknüpfen, AFB III heißt begründen, beurteilen oder eine Falle durchschauen. Mix verbindet Wissen aus mehreren Unterkapiteln, Trick warnt: Hier steckt eine Falle drin. Der Balken oben zeigt dir, wie viele der 30 Aufgaben du schon gelöst hast.

A1
Eine Masche, zwei Richtungen
AFB II

Begründe Schritt für Schritt, warum eine Masche nur einmal zählt, auch wenn du sie in beide Richtungen abgehen kannst. Ausgangspunkt ist die Masche Quelle → K1 → Lampe → K2 → Quelle.

Spiele den Rechenweg Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Eine Masche ist die geschlossene Linie im Schaltplan. Gehst du sie rückwärts ab, durchläufst du dieselben Leitungen und Bauteile – nur umgekehrt. Deshalb zählt die Gegenrichtung nicht extra. Der Umlaufsinn legt lediglich fest, in welcher Reihenfolge du die Teile antriffst. Typischer Fehler: bei drei Maschen „sechs“ zählen, weil es zwei Richtungen gibt.
    Stelle dir die Masche als Kreis aus Draht vor: Ob du ihn links- oder rechtsherum abfährst, ändert nichts am Kreis.
    Dieselbe Linie → keine neue Masche. Der Umlaufsinn bestimmt nur, in welcher Reihenfolge du die Bauteile antriffst.
    A2
    Mehr Maschen oder nicht?
    AFB III

    Ausgangsschaltung: eine Quelle und zwei parallele Zweige mit je einer Lampe — der Plan hat drei Maschen. Schätze für jede Änderung ein, wie viele Maschen der Plan danach hat — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine Masche mehr, 2 = weniger Maschen als vorher, 3 = genauso viele Maschen, 4 = mehr Maschen, 5 = viel mehr Maschen. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = keine Masche mehr5 = viel mehr Maschen
    In den linken Zweig wird eine zweite Lampe in Reihe eingebaut
    Ein dritter paralleler Zweig mit einer Lampe wird an dieselben Knoten angeschlossen
    Der rechte Zweig wird herausgenommen und die Lücke bleibt offen
    Beide Zweige werden herausgenommen; zurück bleibt nur die Quelle mit zwei offenen Kabelenden
    Zwei weitere parallele Zweige mit je einer Lampe werden an dieselben Knoten angeschlossen
    Warum sich die Zahlen so verhalten: Bauteile in Reihe verlängern nur einen vorhandenen Umlauf und bringen keine neue Masche. Jeder zusätzliche parallele Weg lässt sich dagegen mit jedem schon vorhandenen zu einer Masche verbinden — deshalb wächst die Zahl von 3 über 6 auf 10. Und ohne geschlossenen Weg gibt es überhaupt keine Masche mehr. Überlegen ist hier schneller als Abzählen.
    A3
    Wege, Paare, Maschen
    AFB II

    Werte die Tabelle aus. Eine Quelle und n Zweige liegen zwischen zwei Knoten; die Quelle zählt als ein Weg. Jede Masche besteht aus genau zwei Wegen. Die erste Zeile ist als Beispiel schon ausgefüllt.

    Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
    ZweigeWegeWege · (Wege − 1)Maschen
    n = 2363
    n = 3
    n = 4
    n = 5
    Es gibt immer einen Weg mehr als Zweige (die Quelle). Jeder Weg bildet mit jedem der übrigen eine Masche, das sind Wege − 1 Maschen je Weg. Multiplizierst du Wege mit Wege − 1, hast du jede Masche zweimal gezählt – einmal für jeden ihrer beiden Wege. Deshalb halbierst du: Maschen = Wege · (Wege − 1) : 2. Typischer Fehler: das Produkt ohne Halbieren als Maschenzahl eintragen.
    Beginne mit der Spalte „Wege“: n Zweige plus die Quelle. Danach multiplizierst du Wege mit der um 1 kleineren Zahl.
    Die letzte Spalte ist die Hälfte der vorletzten, denn im Produkt steckt jede Masche zweimal.