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Beschleunigung: Formeln

Mit v = a · t und s = ½ · a · t² rechnen, umstellen und kombinieren – und dabei die typischen Fallen rund um km/h, das ½ und v = s/t sicher umgehen.

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen, fortlaufend nummeriert: Aufgaben zum Klicken, Ziehen und Knobeln wechseln sich mit Rechen- und Eingabeaufgaben ab. Jede Übung gibt dir sofort eine Rückmeldung, und zu jeder Aufgabe gibt es zwei gestufte Tipps.

A1
Geschwindigkeit ohne Zeitangabe
AFB I

Gib zu jeder Zeile der Herleitung die passende Begründung an. Am Ende steht eine Formel, mit der sich die Endgeschwindigkeit direkt aus Beschleunigung und Strecke ausrechnen lässt – ganz ohne die Zeit.

Ordne jeder Zeile der Herleitung die passende Begründung zu: Karte anklicken, dann das Feld neben der Zeile (oder Karte direkt auf das Feld ziehen). Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter, dann Tab zum Feld und Enter. Ein Klick auf ein belegtes Feld legt die Karte zurück. Nicht alle Karten werden gebraucht.

Zu zeigen: v = √(2 · a · s) für den Start aus dem Stillstand

  1. s = ½ · a · t²Grundformel für die Strecke aus dem Stillstand
  2. t² = 2s / a
  3. t = √(2s / a)
  4. v = a · t = a · √(2s / a)
  5. v = √(a² · 2s / a)
  6. v = √(2 · a · s)
Erst wird s = ½ · a · t² nach t umgestellt (· 2, : a, Wurzel – nur die positive Lösung, weil es keine negative Zeitspanne gibt). Dieses t wird in v = a · t eingesetzt. Holt man a als √(a²) unter die Wurzel, kürzt sich ein a weg: v = √(2 · a · s). Probe mit Einheiten: √(m/s² · m) = √(m²/s²) = m/s ✓.
Die erste Zeile ist vorgegeben. Überlege bei jeder weiteren Zeile, was sich gegenüber der Zeile davor verändert hat.
Zeile 2: · 2 und : a · Zeile 3: Wurzel ziehen · Zeile 4: t einsetzen · Zeile 5: a unter die Wurzel holen · Zeile 6: a kürzen.
A2
Wer beschleunigt am stärksten?
AFB II

Ordne die fünf Anfahrvorgänge auf einer Skala ein: Gib jedem eine Stufe von 1 (kleinste Beschleunigung) bis 5 (größte Beschleunigung). Alle starten aus dem Stillstand und beschleunigen gleichmäßig.

Jede Stufe kommt genau einmal vor. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = kleinste Beschleunigung5 = größte Beschleunigung
Aufzug: Seine Geschwindigkeit wächst in 0,5 s um 0,5 m/s.
Jetski: Er legt aus dem Stand 64 m in 8 s zurück.
Radfahrerin: Sie kommt in 2 s von 0 auf 18 km/h.
Skateboarder: Er ist nach 2 s genau 6 m/s schnell.
Gepard: Er sprintet in 3 s von 0 auf 72 km/h.
Aufzug 1 m/s² < Jetski 2 m/s² < Radfahrerin 2,5 m/s² < Skateboarder 3 m/s² < Gepard ≈ 6,7 m/s². Zwei Fallen: 18 km/h sind nur 5 m/s, also a = 5 m/s : 2 s = 2,5 m/s² (nicht 9). Beim Jetski sind s und t gegeben, also a = 2s/t² = 2 · 64 m : (8 s)² = 2 m/s². Wer v = s/t = 8 m/s rechnet, bekommt nur die Durchschnittsgeschwindigkeit und damit fälschlich 1 m/s² – genauso viel wie beim Aufzug.
Rechne für jeden Fall a in m/s² aus. Achte darauf, welche zwei Größen jeweils gegeben sind, und rechne km/h vorher in m/s um (: 3,6).
Aufzug: a = 0,5 : 0,5 = 1 m/s² · Jetski: a = 2s/t² = 128 : 64 = 2 m/s² · Rad: 5 m/s : 2 s = 2,5 m/s² · Skateboard: 6 : 2 = 3 m/s² · Gepard: 20 m/s : 3 s ≈ 6,7 m/s².
A3
Nach welcher Strecke?
AFB II

Ein Körper beschleunigt aus dem Stillstand gleichmäßig mit 3 m/s². Stelle eine Vermutung auf: Nach welcher Strecke erreicht er eine Geschwindigkeit von 20 m/s?

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0150
Gegeben sind v und a, gesucht ist s — also beide Formeln nacheinander. Aus v = a · t folgt t = v/a = 20 : 3 ≈ 6,67 s. Eingesetzt: s = ½ · a · t² = ½ · v²/a = ½ · 400 : 3 ≈ 66,67 m. Die typische Falle ist s = v · t = 20 · 6,67 = 133,3 m — das wäre die Strecke bei durchgehend 20 m/s. Weil der Körper aber bei 0 startet, ist es genau die Hälfte.
Berechne zuerst, wie lange die Beschleunigung dauert. Erst danach kannst du die Strecke bestimmen.
t = v/a = 20/3 ≈ 6,67 s, dann s = ½ · 3 · 6,67² ≈ 66,67 m — oder direkt s = ½ · v²/a.