Aufgabenblock — AFB III
Hier geht es nicht mehr ums bloße Einsetzen — du sollst begründen, rückwärts arbeiten und beurteilen. Mehrere Aufgaben haben keine fertige Zahl als Lösung, sondern verlangen einen Begründungssatz. Bei diesen gilt: erst selbst denken, dann die Musterlösung öffnen — das Aufklappen zählt als erledigt. Es gilt durchgehend g = 9,81 m/s²; Reibung wird — wo nicht anders gesagt — vernachlässigt.
Erkläre in 3–4 Sätzen, warum die Masse eines fallenden Körpers am Ergebnis für die Aufprallgeschwindigkeit nichts ändert — obwohl in Epot = m · g · h und in Ekin = ½ · m · v² beide Male ein m steht.
Hinweis: Setze die beiden Energien gleich und kürze.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Ohne Reibung wird die gesamte Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt, es gilt also m · g · h = ½ · m · v². Da auf beiden Seiten derselbe Faktor m steht, lässt er sich kürzen; übrig bleibt v = √(2 · g · h). Die Aufprallgeschwindigkeit hängt damit nur von der Fallhöhe ab. Ursache: Eine größere Masse speichert zwar mehr Lageenergie, benötigt aber für dieselbe Geschwindigkeit auch genau im selben Verhältnis mehr kinetische Energie — beide Effekte heben sich auf. Die Energien unterscheiden sich dagegen sehr wohl: Springer ① (40 kg aus 10 m) und Springer ② (80 kg aus 5 m) haben beide 3924 J, treffen aber mit 14,007 m/s bzw. 9,905 m/s auf.
Max schießt eine 2 g schwere Gummikugel mit einer Federpistole 4,5 m senkrecht nach oben. Dazu musste er die Feder um 5 cm zusammendrücken.
a) Berechne die potenzielle Energie der Kugel im höchsten Punkt. b) Berechne daraus die Federkonstante.
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a) m = 2 g = 0,002 kg; Epot = 0,002 kg · 9,81 m/s² · 4,5 m ≈ 0,088 J.
b) Da ESpann = Epot = 0,088 29 J gilt und s = 5 cm = 0,05 m ist, folgt D = (2 · 0,088 29) : 0,05² = 0,176 58 : 0,0025 ≈ 70,6 N/m. Antwortsatz: Die Federkonstante beträgt etwa 70,6 N/m.
Der Achterbahnwagen (600 kg) besitzt die Gesamtenergie 147 720 J. Geplant ist ein Looping, dessen Spitze in 22 m Höhe liegt.
a) Berechne die dafür nötige Lageenergie. b) Berechne die dort verbleibende kinetische Energie. c) Beurteile anschließend, ob der Wagen diesen Looping durchfahren könnte.
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a) Epot = 600 · 9,81 · 22 = 129 492 J. b) Ekin = 147 720 − 129 492 = 18 228 J, das entspricht v = √((2 · 18 228) : 600) ≈ 7,8 m/s.
c) Beurteilung: Rein energetisch könnte der Wagen die Höhe erreichen, denn seine Gesamtenergie reicht aus und es bliebe sogar noch Bewegungsenergie übrig. Einschränkung: Die Rechnung setzt voraus, dass gar keine Reibung auftritt. In Wirklichkeit geht auf dem Weg dorthin Energie in thermische Energie über, sodass der Spielraum deutlich kleiner ist. Ein Looping in 22 m Höhe wäre also allenfalls knapp möglich und in der Praxis nicht sicher zu betreiben.
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III bedeutet: nicht nur rechnen, sondern begründen, warum. Du hast geübt:
- Verallgemeinern — aus m · g · h = ½ · m · v² folgt durch Kürzen v = √(2 · g · h); die Masse spielt für die Aufprallgeschwindigkeit keine Rolle.
- Rückwärtsrechnen — von der erreichten Höhe zurück auf Federkonstante, Geschwindigkeit oder Punktzahl.
- Strukturen erkennen — Ekin und ESpann haben denselben Bauplan, also dieselben Umformungen; Faktoren bei Änderungen werden multipliziert.
- Beurteilen — reicht die Energie für 22 m? Rechnerisch ja, in der Praxis nur knapp, weil Reibung auftritt.
- Modellannahmen bewerten — „ohne Reibung“ macht Aufgaben lösbar, liefert aber nur eine Abschätzung in eine bekannte Richtung.
In der Klausur zählt eine saubere Begründung oft genauso viel wie das richtige Ergebnis. Schreibe immer einen Antwortsatz mit Einheit — und nenne die Voraussetzung, unter der du gerechnet hast.