Der Betrag eines Vektors: Übungen – Physik Klasse 11

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen, fortlaufend nummeriert: Aufgaben zum Klicken, Ziehen und Knobeln wechseln sich mit Rechen- und Eingabeaufgaben ab. Jede Übung gibt dir sofort eine Rückmeldung, und zu jeder Aufgabe gibt es zwei gestufte Tipps.

Hält der Haken?

AFB I

Ein Wandhaken trägt Kräfte bis zu einem Betrag von genau 25 N; bei mehr reißt er aus. Auf ihn wirken nacheinander sieben verschiedene Kräfte. Berechne den Betrag jeder Kraft und lege ihr Kärtchen in die passende Zone.

Ziehe jedes Kärtchen in die passende Zone der Abbildung – oder klicke erst das Kärtchen und dann die Zone an. Ein Klick auf ein gelegtes Kärtchen legt es zurück. Mit der Tastatur: Enter wählt, 1–3 legt in die Zone, 0 zurück.

kleiner als 25 N

genau 25 N

größer als 25 N

Genau 25 N: √(20² + (−15)²) = √625 und (0 N | −25 N) liegt einfach auf der y-Achse. Kleiner: √(18² + 17²) = √613 ≈ 24,8 N, √((−22)² + 11²) = √605 ≈ 24,6 N, √((−12)² + (−21)²) = √585 ≈ 24,2 N. Größer: √((−24)² + 8²) = √640 ≈ 25,3 N und √(25² + 1²) = √626 ≈ 25,02 N – schon die kleine zweite Koordinate macht den Pfeil länger als 25 N. Der Haken reißt also nur bei diesen beiden Kräften aus.

Quadriere beide Koordinaten, addiere und vergleiche die Summe mit 25² = 625 – so sparst du dir sogar das Wurzelziehen.

Summen der Quadrate: 625 und 625 (genau) · 613, 605, 585 (kleiner) · 640 und 626 (größer).

Zwei Hunde am Schlitten

AFB II

Zwei Schlittenhunde ziehen einen Schlitten. Im Koordinatensystem (x nach vorn, y nach links) gilt F₁ = (120 N | 50 N) und F₂ = (60 N | −10 N). Schätze zuerst ab, in welchem Bereich der Betrag der resultierenden Kraft liegen muss, und stelle ihn dann möglichst genau am Regler ein.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

100 N300 N

Erst komponentenweise addieren: F_R = (180 N | 40 N). Dann der Betrag: √(180² + 40²) = √34 000 ≈ 184,4 N. Der Betrag muss größer als 180 N (größere Koordinate) und kleiner als 220 N (Summe der Koordinaten) sein – das ist die Abschätzung. Die Beträge der Einzelkräfte (130 N und ≈ 60,8 N) zu addieren, ergäbe dagegen falsche 190,8 N.

Addiere zuerst die x-Koordinaten und die y-Koordinaten getrennt. Den Betrag bildest du erst ganz am Ende.

F_R = (180 N | 40 N), |F_R| = √(32 400 + 1600) N ≈ 184,4 N.

Immer, manchmal, nie?

AFB III

Hier stehen sechs allgemeine Behauptungen über Vektoren a = (x | y) und b. Beurteile jede Behauptung: Ist sie immer richtig, nur in Sonderfällen richtig oder nie richtig?

Wähle in jedem Menü das passende Urteil. Erst wenn alle Menüs stimmen, ist die Aufgabe gelöst.

Behauptung	Dein Urteil
\|a + b\| = \|a\| + \|b\|
\|−a\| = \|a\|
\|a\| ist kleiner als die größere der beiden Koordinaten (ohne Vorzeichen).
Verdoppelt man nur die x-Koordinate, verdoppelt sich auch der Betrag.
Haben zwei Vektoren denselben Betrag, so sind sie gleich.
Hat ein Vektor den Betrag 0, so sind beide Koordinaten 0.

Beträge addieren sich nur, wenn beide Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. −a hat dieselbe Länge, nur die Gegenrichtung. Unter der Wurzel steht x² + y² ≥ x², also ist der Betrag nie kleiner als eine Koordinate. Nur die x-Koordinate zu verdoppeln, verdoppelt den Betrag nur bei y = 0. Gleicher Betrag heißt gleiche Länge, aber nicht gleiche Richtung: (3 | 0) und (0 | 3) sind verschieden. Und x² + y² = 0 geht nur, wenn x = 0 und y = 0 – beide Quadrate sind ja nie negativ.

Suche zu jeder Behauptung ein Beispiel, für das sie stimmt, und eines, für das sie nicht stimmt. Gibt es nur eins von beiden, ist sie „immer“ oder „nie“ richtig.

Sonderfälle · immer · nie · Sonderfälle · Sonderfälle · immer.