MINT üben

Punkte und Vektoren im Raum

Zehn Aufgaben zum Begründen und Beurteilen — hier zählt das Argument, nicht nur die Zahl.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden und Beweise mit Vektoren führen — erst selbst formulieren, dann die Musterlösung aufklappen.

A1
Täuschendes Schrägbild
AFB III

Begründe, warum die Punkte \(P(2\,|\,2\,|\,1)\) und \(Q(0\,|\,1\,|\,0)\) im üblichen Schrägbild an derselben Stelle erscheinen, und erläutere, wie man sie trotzdem eindeutig darstellt.

Hinweis: Eine Einheit auf der \(x_1\)-Achse ist im Bild eine halbe Einheit nach links und eine halbe nach unten.

Strategie: die Bildverschiebung für jede Koordinate einzeln betrachten.
Lösungsskizze: Bildstelle von \((p_1|p_2|p_3)\): \(p_2-\tfrac12p_1\) nach rechts, \(p_3-\tfrac12p_1\) nach oben.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Im Schrägbild wird ein Punkt um \(p_2-\tfrac12p_1\) nach rechts und um \(p_3-\tfrac12p_1\) nach oben verschoben. Für \(P\): \(2-1=1\) und \(1-1=0\); für \(Q\): \(1-0=1\) und \(0-0=0\). Beide landen auf derselben Bildstelle. Eindeutig wird die Darstellung durch den eingezeichneten Koordinatenweg (bzw. Hilfsquader), der zeigt, wie weit man in \(x_1\)-Richtung gegangen ist.

A2
Kollinear ist nicht „ansteckend“
AFB III

Beurteile die Aussage: „Ist \(\vec a\) kollinear zu \(\vec b\) und \(\vec b\) kollinear zu \(\vec c\), dann ist auch \(\vec a\) kollinear zu \(\vec c\).“

Hinweis: Denke an einen besonderen Vektor, der zu allem kollinear ist.

Strategie: Gegenbeispiel mit dem Nullvektor suchen.
Lösungsskizze: Wähle \(\vec b=\vec 0\) und zwei nicht parallele Vektoren \(\vec a,\ \vec c\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist im Allgemeinen falsch. Gegenbeispiel: \(\vec b=\vec 0\) ist zu jedem Vektor kollinear, \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec c=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) sind aber nicht kollinear. Sind alle drei Vektoren vom Nullvektor verschieden, stimmt die Aussage: aus \(\vec a=r\vec b\) und \(\vec b=s\vec c\) folgt \(\vec a=(rs)\,\vec c\).

A3
Parallelogramm nachweisen
AFB III

Weise nach, dass das Viereck \(A(1\,|\,1\,|\,0)\), \(B(4\,|\,2\,|\,1)\), \(C(6\,|\,5\,|\,3)\), \(D(3\,|\,4\,|\,2)\) ein Parallelogramm ist.

Hinweis: Ein Paar gegenüberliegender Seiten, das gleich lang und parallel ist, reicht.

Strategie: \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{DC}\) vergleichen.
Lösungsskizze: Beide Vektoren sind \(\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}6-3\\5-4\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\). Die Seiten \(AB\) und \(DC\) sind also parallel, gleich lang und gleich orientiert — \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. (Zusätzlich darf \(D\) nicht auf der Geraden \(AB\) liegen, was hier erfüllt ist.)