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Punkte und Vektoren im Raum

Zehn Sachaufgaben vom Paket bis zur Seilbahn — erst übersetzen, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst die Situation in Punkte und Vektoren übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps.

A1
Paket im Koordinatensystem
AFB II

Ein quaderförmiges Paket steht mit der Ecke \(A\) im Ursprung; \(B(6\,|\,0\,|\,0)\), \(D(0\,|\,4\,|\,0)\) und \(E(0\,|\,0\,|\,3)\) sind Nachbarecken von \(A\) (Einheit dm).

a) Gib die \(x_2\)-Koordinate der Ecke \(G\) gegenüber von \(A\) an. b) Bestimme die \(x_1\)-Koordinate des Mittelpunkts der Deckfläche \(EFGH\).

Ansatz: G liegt diagonal gegenüber von A: alle drei Kantenlängen kombiniert.
Rechenweg: \(G(6\,|\,4\,|\,3)\); Mitte der Deckfläche = Mitte von \(EG\).
Lösung: a) 4 b) 3
Vollständige Lösung
\(G\) hat in jeder Koordinate die volle Kantenlänge: \(G(6\,|\,4\,|\,3)\). Der Mittelpunkt der Deckfläche ist der Mittelpunkt von \(\overline{EG}\): \(\left(\frac{0+6}{2}\,\middle|\,\frac{0+4}{2}\,\middle|\,3\right)=(3\,|\,2\,|\,3)\).
A2
Zeltspitze
AFB II

Ein pyramidenförmiges Zelt hat die quadratische Grundfläche \(A(0\,|\,0\,|\,0)\), \(B(4\,|\,0\,|\,0)\), \(C(4\,|\,4\,|\,0)\), \(D(0\,|\,4\,|\,0)\) (in m). Die Spitze \(S\) liegt 3 m über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

a) Gib die \(x_1\)-Koordinate von \(S\) an. b) In der Mitte der Stange \(\overline{CS}\) hängt eine Lampe. Bestimme ihre Höhe \(x_3\).

m
m
Ansatz: Mittelpunkt der Grundfläche zuerst, dann 3 nach oben.
Rechenweg: \(S(2\,|\,2\,|\,3)\); Mitte von \(C\) und \(S\).
Lösung: a) 2 m b) 1,5 m
Vollständige Lösung
Mittelpunkt der Grundfläche \((2\,|\,2\,|\,0)\), also \(S(2\,|\,2\,|\,3)\). Lampe: \(\left(\frac{4+2}{2}\,\middle|\,\frac{4+2}{2}\,\middle|\,\frac{0+3}{2}\right)=(3\,|\,3\,|\,1{,}5)\), also 1,5 m hoch.
A3
Vierte Ecke
AFB II

Die Punkte \(A(1\,|\,2\,|\,0)\), \(B(4\,|\,3\,|\,1)\) und \(C(5\,|\,6\,|\,4)\) sind drei Ecken des Parallelogramms \(ABCD\).

a) Bestimme \(d_2\). b) Bestimme \(d_3\).

Ansatz: Im Parallelogramm gilt \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Rechenweg: \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\), \(D=A+\overrightarrow{BC}\).
Lösung: a) 5 b) 3
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}5-4\\6-3\\4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\). Da \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) sein muss: \(D(1+1\,|\,2+3\,|\,0+3)=D(2\,|\,5\,|\,3)\).