Aufgabenblock — AFB III
Begründen, beurteilen, Verfahren entwickeln: Formuliere deine Antwort zuerst selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum das Kriterium \(\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0\) nur für \(\vec a,\vec b\ne\vec 0\) formuliert wird.
Hinweis: Was ergibt \(\vec 0\cdot\vec b\)?
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Musterlösung: Für \(\vec a=\vec 0\) ist das Skalarprodukt immer 0. Da der Nullvektor keine Richtung hat, ist ein Winkel zwischen \(\vec 0\) und \(\vec b\) nicht definiert. Die Umformung \(\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\) setzt außerdem voraus, dass man durch \(|\vec a|\cdot|\vec b|\) teilen darf.
Zeige mit dem Skalarprodukt: In jeder Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.
Hinweis: Setze \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\) mit \(|\vec a|=|\vec b|\).
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Musterlösung: \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=|\vec a|^2-|\vec b|^2=0\), weil alle Seiten einer Raute gleich lang sind. Also \(\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{DB}\).
Beurteile die Aussage: „Zwei Geraden mit orthogonalen Richtungsvektoren schneiden sich immer.“
Hinweis: Denke an Kanten eines Würfels.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Die \(x_1\)-Achse hat \(\vec u=(1|0|0)\), die Gerade \(h\) hat \(\vec v=(0|1|0)\), also \(\vec u\cdot\vec v=0\). Gleichsetzen liefert in der dritten Zeile \(0=1\) — die Geraden sind windschief. Orthogonale Richtungen sagen nichts über gemeinsame Punkte.