Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
2
Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben, in denen mehrere Schritte zusammenkommen — Dreiecke, Geraden, Flugbahnen und Pyramiden. Drei gestufte Tipps helfen beim Ansatz.
A1
Gleichschenkliges Dreieck
AFB IIGegeben ist das Dreieck \(A(1|1|1)\), \(B(5|1|4)\), \(C(1|6|1)\).
a) Berechne \(|\overrightarrow{AB}|\). b) Berechne \(|\overrightarrow{BC}|\) auf zwei Nachkommastellen.
Ansatz: Alle Seiten als Abstände zweier Punkte.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(4|0|3)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4|5|-3)\).
Lösung: a) 5 b) 7,07
Vollständige Lösung
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+0+9}=5\), \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0+25+0}=5\) — das Dreieck ist gleichschenklig. \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{16+25+9}=\sqrt{50}\approx7{,}07\).
A2
Rechter Winkel gesucht
AFB IIGegeben ist das Dreieck \(A(4|0|0)\), \(B(4|3|0)\), \(C(0|3|3)\).
a) Berechne \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\). b) Berechne den Flächeninhalt.
FE
Ansatz: Rechten Winkel mit dem Skalarprodukt suchen, dann \(A=\tfrac12\cdot\) Kathete · Kathete.
Rechenweg: \(\overrightarrow{BA}=(0|-3|0)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4|0|3)\), Längen 3 und 5.
Lösung: a) 0 b) 7,5
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0+0+0=0\): rechter Winkel bei \(B\). Die Katheten sind 3 und 5 lang, also \(A=\tfrac12\cdot3\cdot5=7{,}5\).
A3
Innenwinkel
AFB IIGegeben ist das Dreieck \(A(1|0|0)\), \(B(0|1|0)\), \(C(0|0|1)\).
a) Berechne \(|\overrightarrow{AB}|\) auf zwei Nachkommastellen. b) Berechne den Innenwinkel bei \(A\).
°
Ansatz: Innenwinkel mit Vektoren, die im Scheitel \(A\) beginnen.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(-1|1|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1|0|1)\), Skalarprodukt 1.
Lösung: a) 1,41 b) 60°
Vollständige Lösung
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt2\approx1{,}41\); ebenso \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt2\). \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\Rightarrow\alpha=60^\circ\) — das Dreieck ist gleichseitig.