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Die Kinderrutsche
AFB I–IIEin Hersteller von Spielgeräten beschreibt das Profil einer Rutsche durch die Funktionenschar \(f_a(x)=a\,(x-4)^2\,(x+2)\) mit \(a>0\) und \(0\le x\le 4\) (\(x\) und \(f_a(x)\) in Metern). Bei \(x=0\) beginnt die Rutsche an einer Plattform, bei \(x=4\) endet sie auf dem ebenen Boden. Mit dem Parameter \(a\) passt der Hersteller die Rutsche an verschieden hohe Plattformen an.
Seitenansicht der Kinderrutsche
- Weisen Sie nach, dass jede Rutsche der Schar an der Plattform waagerecht beginnt und bei \(x=4\) flach auf dem Boden ausläuft.
- Die Plattform ist \(2{,}4\) m hoch. Bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\).
- Berechnen Sie für diese Rutsche die Stelle, an der sie am steilsten ist, und den Neigungswinkel dort.
- Begründen Sie, dass jede Rutsche der Schar in der Mitte (\(x=2\)) genau halb so hoch ist wie an der Plattform.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Bilde \(f_a'(x)\) — ausklammern lohnt sich. Waagerecht heißt Steigung \(0\); „flach auf dem Boden auslaufen“ heißt: Höhe \(0\) und Steigung \(0\) bei \(x=4\).Nachweisen: allgemein für jedes \(a\) zeigen, nicht nur für ein Beispiel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Plattformhöhe ist der Funktionswert an der Stelle \(0\): \(f_a(0)=2{,}4\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Am steilsten ist die Rutsche dort, wo die Steigung am stärksten negativ ist — also an einer Extremstelle von \(f_a'\) (Wendestelle von \(f_a\)). Winkel über \(\tan\alpha=|m|\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche \(f_a(2)\) und \(f_a(0)\) allgemein, also mit \(a\) als Buchstaben.