Kurvenanpassung: Übungen AFB III – Mathe Grundkurs

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Lösungen hinterfragen und Modelle beurteilen. Formuliere deine Antwort erst selbst in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.

Vier Punkte — immer Grad 3?

AFB III

Beurteile die Aussage: „Durch vier beliebige Punkte geht immer genau ein Graph einer Funktion dritten Grades.“

Hinweis: Denke an Punkte mit gleicher x-Koordinate und an Punkte, die auf einer Geraden liegen.

Strategie: Zwei Sonderfälle prüfen, dann die Aussage richtig formulieren.Warum so? Eine Aussage über „alle“ Fälle fällt schon durch ein Gegenbeispiel.

Lösungsskizze: gleiche x-Werte → keine Funktion möglich; (0 | 0), (1 | 1), (2 | 2), (3 | 3) → a = b = 0, Gerade; richtig: verschiedene x-Werte → genau eine Funktion vom Grad höchstens 3.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist so nicht richtig. Haben zwei Punkte dieselbe x-Koordinate, aber verschiedene y-Werte, kann überhaupt kein Funktionsgraph durch beide gehen. Liegen die vier Punkte z. B. auf der Geraden y = x, liefert das LGS a = b = 0 — die einzige Lösung ist eine lineare Funktion, kein Grad 3. Richtig ist: Durch vier Punkte mit verschiedenen x-Werten geht genau ein Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad höchstens 3.

Waagerecht heißt nicht Hochpunkt

AFB III

Begründe, warum die Bedingungen f(2) = 5 und f′(2) = 0 allein noch nicht garantieren, dass der gefundene Graph bei x = 2 einen Hochpunkt hat.

Hinweis: Welche Punkte mit waagerechter Tangente kennst du außer Hochpunkten?

Strategie: Alle Punkte mit f′(x₀) = 0 sammeln und ein einfaches Gegenbeispiel suchen.Warum so? Die Bedingung f′(x₀) = 0 beschreibt nur die Tangentenrichtung.

Lösungsskizze: f′(x₀) = 0 bei Hoch-, Tief- und Sattelpunkt; Beispiel f(x) = (x − 2)³ + 5; Nachweis über f″(2) < 0 oder Vorzeichenwechsel von f′.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: f′(2) = 0 sagt nur, dass die Tangente bei x = 2 waagerecht ist. Das gilt für Hochpunkte, aber auch für Tiefpunkte und Sattelpunkte. So erfüllt f(x) = (x − 2)³ + 5 beide Bedingungen und hat bei x = 2 einen Sattelpunkt. Ob wirklich ein Hochpunkt vorliegt, zeigt erst die Probe am fertigen Term, z. B. mit f″(2) < 0 oder einem Vorzeichenwechsel von f′ von + nach −.

Hoch- und Tiefpunkt vertauscht

AFB III

Lena soll eine Funktion dritten Grades mit Hochpunkt H(1 | 3) und Tiefpunkt T(3 | 5) bestimmen. Ihr CAS liefert f(x) = −0,5x³ + 3x² − 4,5x + 5. Überprüfe, ob diese Funktion den Steckbrief erfüllt.

Hinweis: Vergleiche die Höhen der beiden Punkte. Was müsste bei einem Graphen dritten Grades gelten?

Strategie: Erst die vier Gleichungen testen, dann die Art der Extrempunkte mit f″ bestimmen.Warum so? Das LGS kennt nur Gleichungen — die Wörter „Hoch“ und „Tief“ stecken nicht darin.

Lösungsskizze: f(1) = 3, f′(1) = 0, f(3) = 5, f′(3) = 0 erfüllt; f″(x) = −3x + 6: f″(1) = 3 > 0 → Tiefpunkt, f″(3) = −3 < 0 → Hochpunkt; Steckbrief widersprüchlich.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die vier Gleichungen f(1) = 3, f′(1) = 0, f(3) = 5 und f′(3) = 0 sind erfüllt. Mit f″(x) = −3x + 6 ist aber f″(1) = 3 > 0, bei x = 1 liegt also ein Tiefpunkt, und wegen f″(3) = −3 < 0 bei x = 3 ein Hochpunkt. Die Arten sind vertauscht. Das kann nicht anders sein: Liegt der Hochpunkt links vom Tiefpunkt, muss er bei Grad 3 höher liegen — hier ist er tiefer. Es gibt also keine Funktion, die den Steckbrief wirklich erfüllt.