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Kurvenanpassung

Zehn Sachaufgaben von der Fontäne bis zum Minigolf-Hügel — erst übersetzen, dann rechnen, dann deuten.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst die Situation in Bedingungen übersetzen, dann das LGS von Hand oder mit dem GTR lösen und das Ergebnis deuten — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Wasserfontäne
AFB II

Aus einer Düse am Beckenrand steigt ein Wasserstrahl bogenförmig auf. Er tritt im Ursprung aus, erreicht in 2 m Entfernung seine größte Höhe von 2 m und trifft 4 m von der Düse entfernt wieder auf Höhe 0 auf. Modell: f(x) = ax² + bx + c.

Stelle die Bedingungen auf. a) Welchen Wert hat a? b) Wie hoch ist der Strahl 1 m von der Düse entfernt?

m
Ansatz: Drei Bedingungen: f(0) = 0, f(4) = 0 und f(2) = 2 (alternativ f′(2) = 0).
Rechenweg: c = 0; 16a + 4b = 0 → b = −4a; 4a + 2b = 2 → 4a − 8a = 2 → a = −0,5, b = 2.
Lösung: a) −0,5 b) 1,5 m
Vollständige Lösung
Mit c = 0 bleibt I: 16a + 4b = 0 und II: 4a + 2b = 2. Aus I folgt b = −4a, eingesetzt in II: −4a = 2, also a = −0,5 und b = 2. Damit f(x) = −0,5x² + 2x und f(1) = −0,5 + 2 = 1,5. Der Strahl ist 1 m vor der Düse 1,5 m hoch. Hinweis: Der Ursprung in der Düse liefert sofort c = 0 — ein gut gewähltes Koordinatensystem spart eine Gleichung.
123412xyDüseRand
Wasserstrahl, 1 LE = 1 m
A2
Abfahrt einer Achterbahn
AFB II

Eine Achterbahn beginnt ihre Abfahrt im Hochpunkt H(0 | 30) und erreicht im Tiefpunkt T(40 | 6) die tiefste Stelle (Angaben in m). Dazwischen soll das Profil durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden.

Ermittle den Funktionsterm. a) In welcher Höhe fährt der Wagen bei x = 10 m? b) Das stärkste Gefälle liegt genau in der Mitte bei x = 20. Wie groß ist es in Prozent?

m
%
Ansatz: Vier Bedingungen: f(0) = 30, f′(0) = 0, f(40) = 6, f′(40) = 0.
Rechenweg: d = 30, c = 0; 64000a + 1600b = −24 und 4800a + 80b = 0 → b = −60a → 64000a − 96000a = −24 → a = 0,00075, b = −0,045.
Lösung: a) 26,25 m b) 90 %
Vollständige Lösung
Mit f(x) = 0,00075x³ − 0,045x² + 30 ergibt sich f(10) = 0,75 − 4,5 + 30 = 26,25 m. f′(x) = 0,00225x² − 0,09x, also f′(20) = 0,9 − 1,8 = −0,9. Ein Gefälle von 0,9 entspricht 90 %. Hinweis: Die Koeffizienten sind klein — nicht runden, sonst stimmt die Höhe im Tiefpunkt nicht mehr.
10203040102030xyHT
Abfahrt zwischen H und T (in m)
A3
Kosten einer Kleinserie
AFB II

Eine Werkstatt fertigt Lampen. Für 0, 10 und 20 Stück fallen Kosten von 100 €, 180 € und 300 € an. Die Kosten sollen durch K(x) = ax² + bx + c beschrieben werden.

Bestimme die Koeffizienten ohne Rechner. a) Welchen Wert hat a? b) Welche Kosten sagt das Modell für 30 Stück voraus?

€
Ansatz: c = K(0) = 100; die beiden anderen Punkte liefern ein 2×2-System für a und b.
Rechenweg: I: 100a + 10b = 80, II: 400a + 20b = 200. II − 2 · I: 200a = 40.
Lösung: a) 0,2 b) 460 €
Vollständige Lösung
Aus 200a = 40 folgt a = 0,2, eingesetzt in I: 20 + 10b = 80, also b = 6. K(x) = 0,2x² + 6x + 100, K(30) = 180 + 180 + 100 = 460 €. Hinweis: c = 100 sind die Fixkosten, die auch ohne Produktion anfallen.