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Wachstum einer Sonnenblume
AFB I–IIIm Schulgarten misst eine Klasse neun Wochen lang jede Woche die Höhe \(h\) (in cm) einer Sonnenblume. Die Zeit \(t\) wird in Wochen ab der Aussaat gezählt.
| t in Wochen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| h in cm | 8 | 15 | 30 | 52 | 80 | 108 | 132 | 148 | 156 |
Die Messwerte sollen durch eine ganzrationale Funktion \(f\) modelliert werden.
Messwerte der Sonnenblume
- Beschreiben Sie den Verlauf der Messwerte und begründen Sie damit, warum eine Funktion dritten Grades besser geeignet ist als eine Parabel.
- Ermitteln Sie mit dem GTR oder dem CAS die kubische Regressionsfunktion \(f\) (Koeffizienten auf vier gültige Ziffern) und das Bestimmtheitsmaß \(r^2\). Notieren Sie die Bedienschritte.
- Interpretieren Sie den Wert von \(r^2\) und den Koeffizienten \(d\) im Sachzusammenhang.
- Schätzen Sie ab, welche Höhe das Modell für Woche 12 liefert, und wie verlässlich dieser Wert ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Achten Sie darauf, wie stark die Höhe von Woche zu Woche zunimmt — am Anfang, in der Mitte und am Ende.
Hinweis zu Aufgabe b)
GTR: MENU › Statistik, Listen füllen, F2 (CALC) › F6 (SET) prüfen, F3 (REG) › F4 (X³). CAS: Lists & Spreadsheet oder CubicReg t,h im Calculator.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(d=f(0)\) wäre die Höhe zum Zeitpunkt der Aussaat. Passt das zur Wirklichkeit?
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechnen Sie \(f(12)\) mit den ungerundeten oder vierstelligen Koeffizienten aus und vergleichen Sie mit Woche 9.Abschätzen heißt: eine begründete Größenordnung angeben, keine exakte Rechnung verlangen.