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Flugaktivität eines Bienenvolks
AFB I–IIEine Imkerin zählt mit einer Lichtschranke am Flugloch, wie viele Bienen pro Minute ihren Stock verlassen. An einem warmen, wolkenlosen Sommertag wird diese Flugaktivität zwischen 6 Uhr und 18 Uhr modelliert durch
\(A(t)=\frac{1}{324}t^4-\frac{2}{27}t^3+\frac{4}{9}t^2=\frac{1}{324}\,t^2\,(12-t)^2\) mit \(0\le t\le 12\).
Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach 6 Uhr und \(A(t)\) die Anzahl der ausfliegenden Bienen in Hundert pro Minute. Die Abbildung zeigt den Graphen von \(A\).
Flugaktivität im Tagesverlauf
- Entnehmen Sie der Abbildung die Koordinaten des Hochpunkts und die Nullstellen von \(A\) jeweils mit ihrer Bedeutung im Sachzusammenhang.
- Beschreiben Sie den Verlauf der Flugaktivität im Tagesverlauf. Verwenden Sie dabei die Fachbegriffe Hochpunkt, Wendepunkt, Links- und Rechtskurve.
- Lösen Sie die Gleichung \(A(t)=2{,}25\) für \(0\le t\le 12\). Die Lösungen geben die Uhrzeiten an, zu denen 225 Bienen pro Minute ausfliegen.
- Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Graph von \(A\) die \(t\)-Achse bei \(t=0\) und \(t=12\) berührt und nicht schneidet.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Lesen Sie die Werte am Gitter ab und übersetzen Sie \(t\) in eine Uhrzeit.Ablesen heißt: Werte ohne Rechnung aus der Abbildung entnehmen — die Deutung gehört hier dazu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Gehen Sie den Graphen von links nach rechts ab: Wo wird er steiler, wo flacher? Die Wendepunkte liegen ungefähr bei \(t\approx 2{,}5\) und \(t\approx 9{,}5\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutzen Sie die faktorisierte Form: \(t^2(12-t)^2=\big(t\,(12-t)\big)^2\). Zwischen 0 und 12 ist \(t\,(12-t)\ge 0\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Betrachten Sie die Exponenten der Faktoren \(t\) und \((12-t)\) in der faktorisierten Form und das Vorzeichen von \(A(t)\).