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Eine Vase aus der Töpfer-AG
AFB I–IIIn der Töpfer-AG entsteht eine \(20\,\text{cm}\) hohe Vase. Ihr Profil wird durch eine Funktion dritten Grades \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) beschrieben: \(x\) ist die Höhe über dem Boden in cm, \(f(x)\) der Radius der Vase in dieser Höhe in cm (\(0\le x\le20\)).
Der Boden hat einen Radius von \(4\,\text{cm}\). In \(5\,\text{cm}\) Höhe ist die Vase mit einem Radius von \(6\,\text{cm}\) am bauchigsten, der obere Rand hat ebenfalls einen Radius von \(6\,\text{cm}\).
Profil der liegenden Vase (Skizze)
- Nennen Sie die vier Bedingungen, die sich aus der Beschreibung ergeben.
- Bestimmen Sie den Funktionsterm von \(f\).
- Weisen Sie nach, dass die Vase in \(5\,\text{cm}\) Höhe tatsächlich am bauchigsten ist und in \(15\,\text{cm}\) Höhe ihre engste Stelle oberhalb des Bauchs hat.
- Für einen Blumenstrauß muss die engste Stelle einen Durchmesser von mindestens \(7\,\text{cm}\) haben, und der Rand soll nicht breiter sein als der Bauch. Überprüfen Sie, ob die Vase beide Vorgaben erfüllt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Stelle „am bauchigsten“ ist ein Hochpunkt des Profils — er zählt doppelt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Aus \(f(0)=4\) folgt \(d\) sofort. Die übrigen drei Gleichungen können Sie mit dem Gauß-Verfahren oder mit GTR bzw. CAS lösen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f'\) und entscheiden Sie mit \(f''\), ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.Nachweisen heißt: die Aussage rechnerisch belegen, nicht nur ablesen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Durchmesser ist der doppelte Radius. Vergleichen Sie außerdem \(f(20)\) mit dem Radius am Bauch.