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Ein Korbwurf auf Video
AFB I–IIIm Sportunterricht wird ein Korbwurf gefilmt und am Tablet ausgewertet. Der Mittelpunkt des Balls wird in einem Koordinatensystem erfasst: \(x\) ist die waagerechte Entfernung vom Abwurfpunkt, \(y\) die Höhe über dem Hallenboden (beides in m). Drei Bilder des Videos liefern die Punkte \(P(1\mid 3{,}2)\), \(Q(2\mid 3{,}8)\) und \(R(4\mid 3{,}8)\). Die Flugbahn soll durch eine Parabel mit \(f(x)=ax^2+bx+c\) beschrieben werden.
Videoanalyse eines Korbwurfs
- Nennen Sie das lineare Gleichungssystem, das sich aus den drei Punkten ergibt.
- Lösen Sie das LGS ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren.
- Bestätigen Sie, dass der Ball eine größte Höhe von \(4\,\mathrm{m}\) erreicht.
- Interpretieren Sie den Koeffizienten \(c\) im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Jeder Punkt liefert eine Gleichung \(f(x_P)=y_P\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Mit Gleichung I (aus \(P\)) das \(c\) oder das \(a\) aus II und III entfernen — dann eine weitere Unbekannte aus III. Dezimalzahlen lassen sich vermeiden, wenn man zuerst Differenzen bildet.Lösen: Lösungsmenge mit einem geeigneten Verfahren bestimmen — hier ausdrücklich Gauß.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die größte Höhe liegt am Scheitel: \(f'(x)=0\). Alternativ: Symmetrie von \(Q\) und \(R\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Welcher Stelle entspricht \(c=f(0)\)?