Von der Änderung zum Bestand: Übungen AFB III – Mathe Grundkurs

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen widerlegen, Rechnungen bewerten, mit Parametern arbeiten und ein Modell beurteilen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.

Wann ist am meisten Wasser im Becken?

AFB III

Die Abbildung zeigt die Zuflussrate \(r\) eines Beckens. Lina sagt: „Bei \(t\approx2{,}4\) ist am meisten Wasser im Becken, denn dort hat der Graph seinen Hochpunkt.“ Widerlegen Sie Linas Aussage und geben Sie an, was der Hochpunkt von \(r\) tatsächlich bedeutet.

Strategie: Nicht die Höhe von \(r\), sondern das Vorzeichen von \(r\) entscheidet, ob der Bestand wächst.Warum so? \(r=B'\): Die Rate sagt, wie schnell sich der Bestand ändert — nicht, wie groß er ist.

Lösungsskizze: \(r>0\) auf \(]0;6[\) → \(B\) steigt weiter · VZW \(+\to-\) bei \(t=6\) → Maximum · Hochpunkt von \(r\) → Wendestelle von \(B\) (stärkster Anstieg).

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Musterlösung: Nach \(t\approx2{,}4\) ist \(r\) zwar kleiner, aber immer noch positiv — es fließt weiter Wasser zu, der Bestand wächst also weiter. Erst bei \(t=6\) wechselt \(r\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\); ab dann fließt Wasser ab. Der Bestand ist deshalb bei \(t=6\) am größten (auf \([0;10]\) auch global, weil danach nur noch Wasser abfließt). Der Hochpunkt von \(r\) markiert den Zeitpunkt, an dem der Bestand am schnellsten wächst: Dort hat der Bestandsgraph eine Wendestelle.

Zuflussrate \(r(t)\) in \(\mathrm{m^3/h}\), \(0\le t\le10\)

Null heißt nicht nichts

AFB III

Beim Freibad wird Wasser über 12 Stunden umgewälzt; die Änderungsrate des Beckenvolumens ist \(r(t)=30\sin\big(\tfrac{\pi}{6}t\big)\) (\(t\) in h, \(r\) in \(\mathrm{m^3/h}\)). Tom rechnet \(\int_0^{12} r(t)\,\mathrm dt=0\) und folgert: „In den 12 Stunden ist gar kein Wasser geflossen.“ Nehmen Sie zu Toms Folgerung.

Strategie: Unterscheide die Gesamtänderung des Volumens von der Wassermenge, die zu- bzw. abgeflossen ist.Warum so? Das Integral über die Rate addiert orientierte Flächen — Zu- und Abfluss können sich aufheben.

Lösungsskizze: \(r>0\) auf \(]0;6[\), \(r<0\) auf \(]6;12[\) · \(\int_0^6 r=\tfrac{360}{\pi}\approx114{,}6\) · ebenso viel fließt ab · Gesamtänderung \(0\).

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Musterlösung: Toms Rechnung stimmt, seine Deutung nicht. \(\int_0^{12}r(t)\,\mathrm dt=0\) bedeutet: Das Volumen ist nach 12 Stunden genauso groß wie am Anfang. In den ersten 6 Stunden fließen \(\int_0^6 30\sin\big(\tfrac\pi6t\big)\mathrm dt=30\cdot\tfrac{12}{\pi}=\tfrac{360}{\pi}\approx114{,}6\,\mathrm{m^3}\) zu, in den nächsten 6 Stunden genauso viel ab. Insgesamt wurden also rund \(229\,\mathrm{m^3}\) bewegt. Das Integral der Rate liefert die Bilanz (Gesamtänderung), nicht die umgesetzte Menge — dafür muss man die Beträge der Teilintegrale addieren.

Warum die Streifensummen zusammenlaufen

AFB III

\(f\) sei auf \([a;b]\) streng monoton steigend, \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\). Beweisen Sie, dass \(O_n-U_n=\big(f(b)-f(a)\big)\cdot\Delta x\) gilt, und folgern Sie, dass \(U_n\) und \(O_n\) für \(n\to\infty\) denselben Grenzwert haben.

Hinweis: Schreiben Sie beide Summen mit den Stützstellen \(x_0=a,\;x_1,\;\dots,\;x_n=b\) auf.

Strategie: Beide Summen untereinander schreiben und Summand für Summand vergleichen.Warum so? Die Summen haben fast alle Summanden gemeinsam — nur Anfang und Ende unterscheiden sich.

Lösungsskizze: \(U_n=\Delta x\,(f(x_0)+\dots+f(x_{n-1}))\) · \(O_n=\Delta x\,(f(x_1)+\dots+f(x_n))\) · Differenz: \(\Delta x\,(f(x_n)-f(x_0))\) · \(\Delta x\to0\).

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Musterlösung: Weil \(f\) steigt, ist auf jedem Streifen \([x_{i-1};x_i]\) der linke Funktionswert der kleinste und der rechte der größte. Also \(U_n=\Delta x\cdot\big(f(x_0)+f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})\big)\) und \(O_n=\Delta x\cdot\big(f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})+f(x_n)\big)\). Bei der Differenz fallen alle mittleren Summanden weg: \(O_n-U_n=\Delta x\cdot\big(f(x_n)-f(x_0)\big)=\big(f(b)-f(a)\big)\cdot\tfrac{b-a}{n}\). Der Faktor \(\big(f(b)-f(a)\big)(b-a)\) ist fest, \(\tfrac1n\to0\) — also \(O_n-U_n\to0\). Da \(U_n\le\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\le O_n\) gilt und der Abstand \(O_n-U_n\) gegen \(0\) geht, laufen beide auf denselben Wert zu: das Integral \(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\).