Von der Änderung zum Bestand: Übungen AFB II – Mathe Grundkurs

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn mehrschrittige Aufgaben, bunt gemischt aus allen Unterkapiteln: Graphen auswerten, Streifensummen, Stammfunktionen mit Bedingung, Flächen mit Vorzeichenwechsel und ein Sachkontext mit GTR/CAS. Die gestuften Tipps helfen, wenn du nicht weiterkommst.

Zisterne nach dem Gewitter

AFB II

Eine Zisterne enthält zu Beginn \(100\) L. Der Graph zeigt die Zuflussrate \(r\) (negativ: Wasser wird abgepumpt). Werten Sie den Graphen aus: Wann ist die Wassermenge am größten, wie viel Wasser ist dann in der Zisterne, und wie viel sind es nach \(10\) Minuten?

\(t_{\max}\) = min

\(B(6)\) = L

\(B(10)\) = L

Ansatz: Solange \(r>0\), steigt \(B\). Der Vorzeichenwechsel \(+\to-\) liegt bei \(t=6\). Flächen stückweise als Rechteck und Dreieck berechnen.

Rechenweg: \(B(4)=100+20\cdot4=180\). Dreieck von 4 bis 6: \(\tfrac12\cdot2\cdot20=20\). Von 6 bis 8: Dreieck \(-20\), von 8 bis 10: Rechteck \(-40\).

Lösung: \(t_{\max}=6\) min, \(B(6)=200\) L, \(B(10)=140\) L

Vollständige Lösung

Bis \(t=6\) ist \(r\ge0\), danach negativ — also Maximum bei \(t=6\,\mathrm{min}\). \(B(6)=100+80+20=200\,\mathrm L\). Danach: \(B(10)=200-20-40=140\,\mathrm L\). Der Bestand bei \(t=10\) ist trotz Abpumpen größer als am Anfang, weil die blaue Fläche (\(100\)) größer ist als die rote (\(60\)).

Rate \(r(t)\) in L/min, \(t\) in min

Streifen unter einer fallenden Kurve

AFB II

Gegeben ist \(f(x)=4-x^2\) auf \([0;2]\). a) Berechnen Sie \(U_4\) und \(O_4\). b) Für jedes \(n\) gilt \(O_n-U_n=\big(f(0)-f(2)\big)\cdot\Delta x\). Untersuchen Sie, ab welcher Streifenzahl \(n\) die Differenz kleiner als \(0{,}1\) ist.

a) \(U_4\) =

a) \(O_4\) =

b) \(n\) =

Ansatz: \(f\) fällt: Jetzt liefern die rechten Stützstellen die Untersumme, die linken die Obersumme. \(\Delta x=0{,}5\).

Rechenweg: \(f(0)=4\), \(f(0{,}5)=3{,}75\), \(f(1)=3\), \(f(1{,}5)=1{,}75\), \(f(2)=0\). b) \(4\cdot\tfrac2n<0{,}1\iff n>80\).

Lösung: \(U_4=4{,}25\), \(O_4=6{,}25\), ab \(n=81\)

Vollständige Lösung

a) \(U_4=0{,}5\cdot(3{,}75+3+1{,}75+0)=4{,}25\); \(O_4=0{,}5\cdot(4+3{,}75+3+1{,}75)=6{,}25\). Der exakte Wert \(\tfrac{16}{3}\approx5{,}33\) liegt dazwischen. b) \(O_n-U_n=4\cdot\tfrac{2}{n}=\tfrac8n<0{,}1\iff n>80\), also ab \(n=81\) Streifen.

Vier Streifen mit linken Stützstellen

Mit Integralregeln rechnen

AFB II

Für eine Funktion \(f\) ist bekannt: \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm dx=5\) und \(\displaystyle\int_0^7 f(x)\,\mathrm dx=-2\). Leiten Sie daraus \(\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm dx\) und \(\displaystyle\int_7^3 f(x)\,\mathrm dx\) her.

\(\int_3^7 f\) =

\(\int_7^3 f\) =

Ansatz: Intervalladditivität: \(\int_0^3+\int_3^7=\int_0^7\). Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen.

Rechenweg: \(5+\int_3^7 f=-2\).

Lösung: \(-7\) und \(7\)

Vollständige Lösung

\(\int_3^7 f=\int_0^7 f-\int_0^3 f=-2-5=-7\). Vertauschte Grenzen: \(\int_7^3 f=-\int_3^7 f=7\). Deutung: Zwischen 3 und 7 überwiegt die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse.