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Regentonne im Schulgarten
AFB I–IIEine Regentonne im Schulgarten enthält vor einem Regenschauer \(120\,\mathrm L\) Wasser. Während des achtminütigen Schauers läuft Wasser über das Fallrohr zu; die Zulaufrate wird beschrieben durch
\(r(t)=-0{,}75\,t^2+6\,t\) mit \(t\) in Minuten nach Beginn des Schauers, \(0\le t\le8\), und \(r(t)\) in \(\tfrac{\mathrm L}{\mathrm{min}}\).
Die Tonne fasst \(200\,\mathrm L\) und hat keinen Abfluss.
Material 1: Zulaufrate während des Regenschauers
Alle Teilaufgaben sind ohne Hilfsmittel zu bearbeiten. Insgesamt 12 BE.
- Geben Sie eine Stammfunktion von \(r\) an.2 BE
- Stellen Sie eine Funktion \(V\) auf, die die Wassermenge in der Tonne \(t\) Minuten nach Beginn des Schauers beschreibt.3 BE
- Berechnen Sie, wie viel Wasser nach dem Schauer in der Tonne ist und wie viel während des Schauers hineingelaufen ist.3 BE
- Zeigen Sie, dass nach \(4\) Minuten genau die Hälfte des Regenwassers in die Tonne gelaufen ist, und erklären Sie das Ergebnis anhand von Material 1.4 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Summandenweise: Exponent um \(1\) erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen, Faktor stehen lassen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(V\) ist eine Stammfunktion von \(r\), deren Konstante durch den Anfangsbestand festgelegt wird.
Hinweis zu Aufgabe c)
Der Schauer endet bei \(t=8\). \(8^2=64\), \(8^3=512\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne \(V(4)-V(0)\) und vergleiche mit dem Ergebnis aus c). Achte im Graphen auf die Lage des Hochpunkts.