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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Welche passen zu eˣ − sin x?
AFB IGeben Sie alle Stammfunktionen von \(f(x)=e^x-\sin x\) an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Probe durch Ableiten: \((\cos x)'=-\sin x\) — deshalb gehört zu \(-\sin x\) in \(F\) ein \(+\cos x\). Konstanten wie \(5\) oder \(-\pi\) fallen beim Ableiten weg. \(e^{x+1}=e\cdot e^x\) hat die Ableitung \(e\cdot e^x\ne e^x\), und \(e^x-\cos x\) liefert abgeleitet \(e^x+\sin x\).
Ansatz: Leite jede Karte ab — sie ist genau dann richtig, wenn \(e^x-\sin x\) herauskommt.
Weiter: \((\cos x)'=-\sin x\), \((\sin x)'=\cos x\) und \(e^{x+1}=e^1\cdot e^x\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IÜberprüfen Sie fünf Aussagen über Stammfunktionen — die Probe durch Ableiten entscheidet.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Jede Aussage lässt sich mit einer Zeile Ableiten entscheiden — die Probe ist beim Integrieren das wichtigste Werkzeug.
Ansatz: Leite die angebotene Stammfunktion ab und vergleiche mit der Funktion.
Weiter: Bei \(e^{ax}\) liefert die Kettenregel den Faktor \(a\) — beim Integrieren muss deshalb \(\tfrac1a\) davor.
A3
Lückentext: die 1/a-Regel
AFB INennen Sie die fehlenden Fachwörter — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Bei \(f(x)=\cos(3x)\) ist \(3x\) die Funktion. Beim Ableiten von \(\sin(3x)\) liefert die den Faktor \(3\). Beim Integrieren gleicht man ihn mit dem \(\tfrac13\) aus: \(F(x)=\tfrac13\sin(3x)\). Das klappt nur, wenn die innere Funktion ist, und Werte von \(\sin\) und \(\cos\) berechnet man dabei im .
„Produktregel“ bleibt übrig: \(\sin(3x)\) ist eine Verkettung, kein Produkt — die 3 steht im Argument, nicht als Faktor davor.
Ansatz: Welche Ableitungsregel ist für verkettete Funktionen wie \(\sin(3x)\) zuständig?
Weiter: Der Kehrwert von 3 ist \(\tfrac13\). „Linear“ heißt: von der Form \(ax+b\).