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Wasserstand im Tidehafen
AFB I–IIIn einem Tidehafen an der Nordsee wird der Wasserstand über dem Hafengrund gemessen. Die momentane Änderungsrate des Wasserstands wird für einen Zeitraum von zwölf Stunden modellhaft beschrieben durch
\(r(t)=\dfrac{\pi}{3}\cos\!\Big(\dfrac{\pi}{6}\,t\Big),\quad 0\le t\le12,\)
mit \(t\) in Stunden nach 6:00 Uhr und \(r(t)\) in Metern pro Stunde. Um 6:00 Uhr beträgt der Wasserstand \(3\,\mathrm m\). Material M1 zeigt den Graphen von \(r\).
M1 Änderungsrate des Wasserstands
- ohne HilfsmittelWeisen Sie nach, dass \(H(t)=2\sin\big(\tfrac\pi6t\big)\) eine Stammfunktion von \(r\) ist. 2 BE
- ohne HilfsmittelBestimmen Sie einen Term für den Wasserstand \(h(t)\) sowie den höchsten und den niedrigsten Wasserstand mit den zugehörigen Uhrzeiten. 5 BE
- GTR/CASEin Frachtschiff benötigt einen Wasserstand von mindestens \(2\,\mathrm m\). Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem es den Hafen nicht anlaufen kann. 4 BE
- Deuten Sie das Vorzeichen von \(r(t)\) im Intervall \(3<t<9\) sowie den Wert \(r(6)\) im Sachzusammenhang. 2 BE
Insgesamt 13 BE.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Leite \(H\) mit der Kettenregel ab: innere Funktion \(\tfrac\pi6t\), innere Ableitung \(\tfrac\pi6\).„Nachweisen“: Es genügt, \(H'(t)=r(t)\) vorzurechnen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Wasserstand ist der Bestand zur Änderungsrate \(r\): \(h(t)=H(t)+C\). Bestimme \(C\) aus \(h(0)=3\). Wo nimmt \(\sin\) die Werte \(1\) und \(-1\) an?
Hinweis zu Aufgabe c)
Löse \(h(t)=2\), also \(\sin\big(\tfrac\pi6t\big)=-\tfrac12\). GTR im Modus RAD: Y1
3+2sin(πX/6), Y2 2, Schnittpunkte — Casio fx-CG50: SHIFT F5 (G-Solv), F5 (ISCT).Hinweis zu Aufgabe d)
Was bedeutet eine negative Änderungsrate für den Wasserstand? An welcher Stelle ist \(\lvert r(t)\rvert\) am größten?