Rechteckstreifen als Näherung: Übungen – Mathe Grundkurs

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.

Streifen, Stützstellen, Summen

AFB I

Nennen Sie alle Aussagen über Produktsummen, die stimmen. Dabei ist \(A\) der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse über \([a;\,b]\) mit \(f\ge0\).

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Bei fallendem \(f\) liegt am linken Rand der größte Wert jedes Streifens — links ergibt dann die Obersumme. Ohne den Faktor \(\Delta x\) addiert man nur Höhen, keine Rechteckflächen. Und beim Verfeinern schrumpft die Obersumme in Richtung \(A\), sie wächst nicht.

Ansatz: Stelle dir zu jeder Aussage ein Bild mit zwei oder drei Streifen vor.

Weiter: Bei fallendem Graphen: Wo ist in einem Streifen der größte Funktionswert? Beim Verfeinern: Ragen die Rechtecke der Obersumme dann mehr oder weniger über den Graphen hinaus?

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Geben Sie zu jeder Behauptung an, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die Regel „links = Untersumme“ gilt nur für steigende Funktionen. Bei nicht monotonen Funktionen muss man in jedem Streifen einzeln nach dem kleinsten bzw. größten Wert suchen.

Ansatz: Rechne die ersten beiden Aussagen mit kleinen Zahlen nach.

Weiter: Für die letzte Aussage: Skizziere die Normalparabel auf \([-1;\,1]\) mit zwei Streifen. Wo liegt der kleinste Wert im linken Streifen?

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Beschreiben Sie das Verfahren, indem Sie die Fachbegriffe einsetzen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Das Intervall \([a;\,b]\) wird in \(n\) Streifen gleicher \(\Delta x\) geteilt. In jedem Streifen wählt man eine \(x_i\) und ersetzt den Streifen durch ein Rechteck der Höhe \(f(x_i)\). Die Summe aller Rechteckflächen heißt . Liegen alle Rechtecke unter dem Graphen, spricht man von der , ragen alle über den Graphen hinaus, von der

Die Steigung von \(f\) spielt nur indirekt eine Rolle — ihr Vorzeichen entscheidet, ob links oder rechts die Untersumme liefert. Im Verfahren selbst kommt sie nicht vor.

Ansatz: Gehe das Verfahren in Gedanken Schritt für Schritt durch: teilen, auswählen, addieren, einordnen.

Weiter: Die letzten beiden Lücken unterscheiden sich nur darin, ob die Rechtecke unter oder über dem Graphen liegen.