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Anfahrt eines Regionalzugs
AFB I–IIEin Regionalzug fährt aus einem Bahnhof an. Seine Geschwindigkeit wird in den ersten 60 Sekunden modelliert durch
\(v(t)=-0{,}01\,t^2+1{,}2\,t\) für \(0\le t\le60\) (\(t\) in s, \(v(t)\) in m/s).
Der Fahrtenschreiber speichert nur alle 15 Sekunden einen Wert. Material M1 zeigt den Graphen von \(v\) und vier Rechteckstreifen. Die gesamte Aufgabe 1 ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.
Material M1: Geschwindigkeit des Zuges mit Rechteckstreifen
- Weisen Sie nach, dass \(v\) auf \([0;\,60]\) streng monoton steigend ist. 3 BE
- Berechnen Sie die Untersumme \(U_4\) und die Obersumme \(O_4\) für den Graphen von \(v\) auf \([0;\,60]\). 5 BE
- Interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) im Sachzusammenhang. 3 BE
- Bestimmen Sie, wie viele Streifen man mindestens wählen muss, damit sich Ober- und Untersumme um höchstens 10 m unterscheiden. 4 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Monotonie untersucht man mit der Ableitung. Welches Vorzeichen hat \(v'(t)\) auf dem Intervall?Nachweisen heißt: mit einer bekannten Regel belegen, nicht nur am Bild ablesen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Berechne \(v(0),\ v(15),\ v(30),\ v(45),\ v(60)\). Weil \(v\) steigt, liefern die linken Randwerte die Untersumme, die rechten die Obersumme. Den Faktor \(\Delta t=15\) erst am Ende multiplizieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Einheit hat ein Rechteck \(v\cdot\Delta t\)? Was sagen Unter- und Obersumme gemeinsam über die tatsächliche Größe aus?
Hinweis zu Aufgabe d)
Für monotone Funktionen gilt \(O_n-U_n=|v(60)-v(0)|\cdot\tfrac{60}{n}\). Stelle eine Ungleichung für \(n\) auf.