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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Wer liegt oben?
AFB IOrdnen Sie jedes Paar \(f\), \(g\) auf dem angegebenen Intervall dem passenden Korb zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f liegt oben
2g liegt oben
3die Rollen wechseln
Entscheidend ist das Vorzeichen von \(d=f-g\), nicht die Lage zur x-Achse. \(\sin x+1\ge0\) berührt bei \(\tfrac{3\pi}{2}\) nur die Null, wechselt aber nicht — \(f\) bleibt oben. Bei \(x^2-1\) und \(x^2+3\) ist \(d=-4\) überall: parallel verschoben, \(g\) liegt immer \(4\) höher. Wechsel: \(x^3-9x\) bei \(x=3\), \(e^x-1\) bei \(x=0\), \(\cos x-0{,}5\) bei \(x=\tfrac{\pi}{3}\).
Ansatz: Bilde jeweils \(d(x)=f(x)-g(x)\) und setze eine Stelle am Rand und eine in der Mitte des Intervalls ein.
Weiter: Hat \(d\) im Inneren des Intervalls eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, wechseln die Rollen. Eine Nullstelle, an der \(d\) nur die x-Achse berührt, zählt nicht.
A2
Welcher Ansatz trifft die Fläche?
AFB IDie Graphen von \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x+2\) schließen eine Fläche ein. Geben Sie alle Ansätze an, die ihren Inhalt richtig liefern.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Schnittstellen sind die Lösungen von \(x^2=x+2\), also \(x=-1\) und \(x=2\); dazwischen liegt \(g\) oben, und \(A=\tfrac92=4{,}5\) FE. Ohne Betrag liefert \(\int(x^2-x-2)\,\mathrm{d}x\) den Wert \(-4{,}5\) — eine Fläche ist nie negativ. Die Grenzen \(0\) und \(-2\) sind Nullstellen von \(f\) bzw. \(g\), aber keine Schnittstellen.
Ansatz: Löse \(x^2=x+2\). Die Lösungen sind die einzig richtigen Grenzen.
Weiter: Setze \(x=0\) ein: \(g(0)=2>0=f(0)\). Welche Reihenfolge der Differenz ergibt also einen positiven Integranden — und was macht der Betrag mit der anderen?
A3
Lückentext: das Verfahren
AFB INennen Sie die fehlenden Fachwörter — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Zuerst bildet man die \(d(x)=f(x)-g(x)\). Ihre Nullstellen sind die der beiden Graphen. Dann integriert man \(d\) jeweils zwischen zwei Schnittstellen. Von jedem Teilintegral nimmt man den , und zum Schluss werden die Teilflächen .
„Nullstellen von f“ bleibt übrig: Wo einer der beiden Graphen die x-Achse schneidet, ändert sich an der eingeschlossenen Fläche nichts. Nur wo \(f\) und \(g\) sich schneiden, kann oben und unten tauschen.
Ansatz: Denke an die Messstrecke zwischen den Graphen: Ihre Länge ist eine Funktion von \(x\) — wie heißt sie?
Weiter: Die Grenzen kommen aus \(f(x)=g(x)\). Über einen Vorzeichenwechsel hinweg würden sich Teilflächen aufheben — deshalb stückweise integrieren und Beträge nehmen.