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Ein Anhänger aus zwei Blättern
AFB I–IIEine Schmuckdesignerin entwirft einen Anhänger aus Silberblech. Seine Form wird in einem Koordinatensystem (1 LE = 1 cm) durch die beiden Flächenstücke beschrieben, die die Graphen der Funktionen
\(f(x)=x^3-6x^2+9x\) und \(g(x)=x\)
für \(0\le x\le4\) einschließen (Material). Das Silberblech ist \(1\,\text{mm}\) dick, Silber hat die Dichte \(10{,}5\,\tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\).
Material: Entwurf des Anhängers
- hilfsmittelfrei Weisen Sie nach, dass sich die Graphen von \(f\) und \(g\) genau an den Stellen \(x=0\), \(x=2\) und \(x=4\) schneiden. 3 BE
- hilfsmittelfrei Berechnen Sie den Flächeninhalt des linken Blattes (\(0\le x\le2\)). 4 BE
- hilfsmittelfrei Ein Mitschüler rechnet \(\int_0^4\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x=0\) und folgert, der Anhänger habe gar keine Fläche. Erläutern Sie seinen Denkfehler und geben Sie den Flächeninhalt des ganzen Anhängers an. 3 BE
- Bestimmen Sie die Masse des Anhängers. Die Öse bleibt unberücksichtigt. 3 BE
Insgesamt 13 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(f(x)=g(x)\), bringe alles auf eine Seite und klammere \(x\) aus.Nachweisen heißt: zeigen, dass es genau diese drei Stellen sind — nicht nur, dass sie passen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welcher Graph liegt auf \([0;2]\) oben? Teste \(x=1\). Dann \(\int_0^2 d(x)\,\mathrm{d}x\) mit \(d=f-g\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Zeichne in Gedanken \(d=f-g\): Wo ist \(d\) positiv, wo negativ? Was passiert mit den beiden Teilintegralen, wenn man sie addiert?
Hinweis zu Aufgabe d)
Masse = Dichte · Volumen, Volumen = Grundfläche · Dicke. Achte auf die Einheit der Dicke.