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Das Integral als Grenzwert

Warum kann ein Integral null sein, obwohl der Graph sichtbar Fläche einschließt — und was passiert, wenn man die Grenzen vertauscht?

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Das Integral lesen
AFB I

Gegeben ist \(\displaystyle\int_{1}^{5} (2t+1)\,\mathrm dt\). Gib alle zutreffenden Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Ergebnis ist eine Zahl: \(t\) läuft nur von \(1\) bis \(5\) und ist danach „verbraucht“. Unter der Geraden \(y=2t+1\) liegt zwischen \(t=1\) und \(t=5\) ein Trapez mit den Seiten \(3\) und \(11\): \(\tfrac{3+11}{2}\cdot4=28\). \(\mathrm dt\) ist kein Produkt, sondern der Rest der Streifenbreite \(\Delta t\) — es zeigt, nach welcher Variablen integriert wird. Die obere Grenze steht oben: \(5\).
Integrand = die Funktion zwischen \(\int\) und \(\mathrm dt\). Integrationsvariable = die Variable hinter dem \(\mathrm d\).
Für den Wert: Zeichne \(y=2t+1\) von \(t=1\) bis \(t=5\). Die Fläche darunter ist ein Trapez.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über orientierte Flächeninhalte und die Rechenregeln für Integrale.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Das Integral zählt Flächen mit Vorzeichen: oberhalb plus, unterhalb minus, bei vertauschten Grenzen alles mal \(-1\) — und bei gleichen Grenzen gibt es gar keine Streifen.
Überlege bei jeder Aussage: Wie sehen die Produkte \(f(x_i)\cdot\Delta x\) aus — positiv, negativ oder null?
\(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\) ist negativ, wenn \(b<a\) ist, und null, wenn \(a=b\) ist.
A3
Vom Streifen zum Integral
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Teilt man das Intervall \([a;b]\) in \(n\) gleich breite Streifen, hat jeder Streifen die \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\). Die Summe \(f(x_1)\cdot\Delta x+\dots+f(x_n)\cdot\Delta x\) heißt . Für \(n\to\infty\) streben Unter- und Obersumme gegen denselben . Dieser Wert heißt von \(f\) über \([a;b]\). Flächen unterhalb der \(x\)-Achse gehen dabei in die Summe ein

Die Ableitung gehört zur Steigung eines Graphen, nicht zur Summe von Streifenflächen. Beim Integral werden Produkte aus Höhe und Breite addiert — und im Grenzfall unendlich schmal gemacht.
Ein Streifen ist ein Rechteck: Höhe mal was?
Die Reihenfolge im Text: erst die Streifen, dann ihre Summe, dann der Grenzübergang, dann der Name des Ergebnisses.