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Regenüberlaufbecken
AFB I–IIEin Regenüberlaufbecken fängt bei Starkregen Wasser aus der Kanalisation auf. Material 1 zeigt die Zuflussrate \(r(t)\) in \(\tfrac{\mathrm m^3}{\mathrm h}\) für die ersten acht Stunden nach Beginn eines Unwetters (\(t\) in Stunden). Negative Werte bedeuten, dass eine Pumpe mehr Wasser abführt, als zufließt.
Material 1: Zuflussrate in das Becken
Alle Teilaufgaben sind ohne Hilfsmittel zu bearbeiten. Insgesamt 15 BE.
- Geben Sie ohne Rechnung das Zeitintervall an, in dem Wasser aus dem Becken abgepumpt wird, sowie den Zeitraum, in dem der Zufluss am stärksten ist.2 BE
- Berechnen Sie \(\displaystyle\int_0^6 r(t)\,\mathrm dt\) und geben Sie die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an.4 BE
- Beschreiben Sie, wie man \(\displaystyle\int_0^2 r(t)\,\mathrm dt\) als Grenzwert von Produktsummen erhält. Gehen Sie dabei auf Streifenbreite, Unter- und Obersumme sowie den Grenzübergang ein.4 BE
- Zu Beginn befinden sich \(50\,\mathrm m^3\) Wasser im Becken. Ermitteln Sie, wann das Becken im Zeitraum \(0\le t\le8\) am meisten Wasser enthält, sowie die Wassermenge zu diesem Zeitpunkt und am Ende nach \(8\) Stunden.5 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Suche im Graphen die Stelle, an der \(r\) das Vorzeichen wechselt. Beim stärksten Zufluss ist nach dem größten Wert von \(r\) gefragt — nicht nach dem größten Beckeninhalt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zerlege die Fläche zwischen Graph und \(t\)-Achse in Dreiecke und ein Rechteck. Einheit: \(\tfrac{\mathrm m^3}{\mathrm h}\cdot\mathrm h\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Beginne mit der Einteilung von \([0;2]\) in \(n\) gleich breite Streifen. Welche Randwerte liefern bei steigendem \(r\) die Unter- bzw. Obersumme?„Beschreiben“ verlangt einen geordneten Ablauf in Fachsprache, keine Rechnung mit Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Der Bestand wächst, solange \(r>0\) ist. Für das Ende brauchst du zusätzlich die orientierten Flächen von \(t=6\) bis \(t=8\).