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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Welche Einheit hat das Integral?
AFB I\(r\) ist jeweils eine Änderungsrate, \(t\) die Zeit. Ordnen Sie jeder Situation die Einheit von \(\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\) zu.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Einheit des Integrals = Einheit der Rate mal Einheit der Zeit — das „pro Zeit“ kürzt sich weg: \(\tfrac{\text{MB}}{\text{s}}\cdot\text{s}=\text{MB}\). Einzige Falle: Leistung mal Zeit ergibt Energie, \(\text{kW}\cdot\text{h}=\text{kWh}\) — nicht kW.
Ansatz: Das Integral ist eine Summe von Produkten „Rate mal Zeitspanne“ — genau wie ein Rechteckstreifen.
Weiter: Multipliziere die Einheiten und kürze: \(\tfrac{\text{cm}}{\text{Jahr}}\cdot\text{Jahr}=\text{cm}\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I\(r\) ist die Änderungsrate eines Bestands \(B\). Geben Sie zu jeder Aussage an, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Alle fünf Aussagen hängen an einer Gleichung: \(B(b)=B(a)+\int_a^b r(t)\,\mathrm{d}t\). Das Integral misst die Änderung, das Vorzeichen von \(r\) sagt, ob \(B\) gerade steigt oder fällt.
Ansatz: Denke an eine Badewanne: \(r\) ist der Nettozufluss, \(B\) die Wassermenge.
Weiter: Wenn der Hahn am stärksten läuft, steigt das Wasser am schnellsten — voll ist die Wanne aber erst, wenn der Zufluss in einen Abfluss umschlägt.
A3
Die Regentonne
AFB IIn einer Regentonne sind zu Beginn eines Schauers \(20\) L Wasser. Während des Schauers fließt Wasser mit der Rate \(r(t)=0{,}3t^2\) zu (\(t\) in min, \(r\) in \(\tfrac{\text{L}}{\text{min}}\)). Berechnen Sie, wie viel Wasser nach \(10\) Minuten in der Tonne ist.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(B(10)=20+\int_0^{10}0{,}3t^2\,\mathrm{d}t=20+\big[0{,}1t^3\big]_0^{10}=20+100=120\) L. Wer \(100\) eingibt, hat nur die zugeflossene Menge berechnet — die \(20\) L vom Anfang gehören dazu.
Ansatz: Bestand am Ende = Bestand am Anfang + Integral der Rate.
Weiter: Eine Stammfunktion von \(0{,}3t^2\) ist \(0{,}1t^3\). Obere Grenze einsetzen, untere abziehen.