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Integrale im Sachkontext

Ein Parkhaus und ein Batteriespeicher — zwei Abituraufgaben, in denen aus Raten Bestände werden, mit und ohne Rechner.

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Autos im Parkhaus

AFB I–II

An einem Werktag wird die Belegung eines Parkhauses in der Innenstadt beobachtet. Die Änderungsrate der Anzahl parkender Autos wird für \(0\le t\le10\) modelliert durch

\(r(t)=-6t^2+60t-96\)

mit \(t\) in Stunden nach 6:00 Uhr und \(r(t)\) in Autos pro Stunde (Material). Positive Werte bedeuten, dass mehr Autos ein- als ausfahren. Um 6:00 Uhr stehen \(150\) Autos im Parkhaus; es hat \(300\) Stellplätze.

Material: Änderungsrate der Belegung
−100−80−60−40−2020406012345678910t in hr(t) in Autos pro hr
\(t=0\) entspricht 6:00 Uhr, \(t=10\) entspricht 16:00 Uhr.
  1. hilfsmittelfrei Beschreiben Sie anhand des Materials, wie sich die Anzahl der Autos im Parkhaus zwischen 6:00 und 16:00 Uhr entwickelt. 3 BE
  2. hilfsmittelfrei Stellen Sie einen Term für die Anzahl \(B(t)\) der Autos im Parkhaus auf. 4 BE
  3. hilfsmittelfrei Berechnen Sie, wie viele Autos um 8:00 Uhr und um 14:00 Uhr im Parkhaus stehen. 3 BE
  4. hilfsmittelfrei Begründen Sie, dass das Parkhaus im betrachteten Zeitraum nie voll ist. 4 BE

Insgesamt 14 BE

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achte auf das Vorzeichen von \(r\) und darauf, wo \(r\) am größten ist. Übersetze \(t\) in Uhrzeiten.Beschreiben verlangt die Entwicklung in Worten — mit Zeitpunkten, aber ohne Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(B(t)=B(0)+\int_0^t r(s)\,\mathrm{d}s\). Die Integrationsvariable heißt anders als die obere Grenze.
Hinweis zu Aufgabe c)
8:00 Uhr entspricht \(t=2\), 14:00 Uhr entspricht \(t=8\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Wo kann \(B\) im Intervall \([0;10]\) am größten sein? Denke an die Stellen, an denen \(r\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt — und an die Ränder.