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Besucher im Museum
AFB I–IIEin Museum öffnet um 9 Uhr und schließt um 17 Uhr. Die Änderungsrate der Besucherzahl wird für \(0\le t\le8\) modelliert durch
\(r(t)=-6t^2+36t\) (\(t\) in Stunden nach 9 Uhr, \(r(t)\) in Personen pro Stunde).
Um 9 Uhr befindet sich niemand im Museum. Material M1 zeigt den Graphen von \(r\). Die gesamte Aufgabe 1 ist ohne Hilfsmittel zu bearbeiten.
Material M1: Änderungsrate der Besucherzahl
- Entnehmen Sie M1, in welchem Zeitraum die Zahl der Besucher zunimmt und in welchem sie abnimmt. 2 BE
- Interpretieren Sie die Gleichung \(r(7)=-42\) im Sachzusammenhang. 3 BE
- Begründen Sie anhand des Graphen von \(r\), dass sich um 15 Uhr die meisten Besucher im Museum aufhalten und dass die Besucherzahl um 12 Uhr am stärksten zunimmt. 5 BE
- Zeigen Sie, dass die Besucherzahl durch \(B(t)=-2t^3+18t^2\) beschrieben wird, und geben Sie mit ihrer Hilfe die größte Besucherzahl sowie die Zahl der Personen an, die sich um 17 Uhr noch im Museum befinden. 5 BE
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Nur das Vorzeichen von \(r\) entscheidet über Zu- oder Abnahme. Wo schneidet der Graph die \(t\)-Achse?
Hinweis zu Aufgabe b)
Übersetze \(t=7\) in eine Uhrzeit und achte auf Einheit und Vorzeichen. Beschreibe, was in diesem Moment passiert — nicht, wie viele Personen im Museum sind.Interpretieren heißt: die Zahl in Worten auf die Situation beziehen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zwei verschiedene Merkmale von \(r\): ein Vorzeichenwechsel und ein Hochpunkt. Welches gehört zum größten Bestand, welches zum stärksten Zuwachs? Denke auch an die Ränder des Intervalls.
Hinweis zu Aufgabe d)
Zwei Bedingungen: \(B'=r\) und der Anfangswert \(B(0)\). Danach die Stellen aus c) einsetzen.