Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1
Solaranlagen auf Dächern
AFB I–IIIn einer Gemeinde mit 2400 geeigneten Dächern wird die Zahl der Photovoltaik-Anlagen zunächst durch \(P(t)=150\cdot e^{0{,}21t}\) beschrieben (\(t\) in Jahren seit Beginn eines Förderprogramms).
Solaranlagen in der Gemeinde
- Geben Sie die Bedeutung der Parameter 150 und 0,21 im Sachzusammenhang an und berechnen Sie die Verdopplungszeit.
- Bestimmen Sie, wann laut Modell \(P\) alle geeigneten Dächer mit Anlagen belegt wären, und erläutern Sie, was daraus für den Gültigkeitsbereich des Modells folgt.
- Ein Planungsbüro schlägt stattdessen \(B(t)=2400-2250\cdot e^{-kt}\) vor. Ermitteln Sie \(k\) so, dass \(B\) und \(P\) zu Beginn dieselbe Änderungsrate haben.
- Nach 5 Jahren zählt man 390 Anlagen. Beurteilen Sie beide Modelle für kurzfristige und langfristige Prognosen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
150 ist ein Funktionswert, 0,21 die Wachstumskonstante — mit welcher Einheit?Angeben: kurz, ohne ausführliche Begründung.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(P(t)=2400\) mit \(\ln\) lösen oder am GTR: Graph von \(P\) und \(y=2400\), G-SOLVE (SHIFT F5) → F5 INTSECT.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kettenregel: \(B'(t)=2250k\cdot e^{-kt}\) und \(P'(t)=0{,}21\cdot P(t)\). Setzen Sie \(t=0\) ein.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechnen Sie \(P(5)\) und \(B(5)\), vergleichen Sie mit 390 und denken Sie an die Obergrenze.