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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Welches Gesetz steckt dahinter?
AFB I MixDie Karten beschreiben Vorgänge. Ordnen Sie jeden Vorgang dem passenden Änderungsgesetz zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f′(t) = k · f(t)
2f′(t) konstant
3keines von beiden
Bei Zinseszins, Bakterien und Zerfall hängt die Änderung vom momentanen Bestand ab — beim Zerfall mit \(k<0\). Kerze, Regentonne und Tarif ändern sich immer gleich schnell. Bei A = t² ist A′ = 2t, bei h(t) = 20t − 5t² ist h′ = 20 − 10t: Die Rate hängt von der Zeit ab, ist aber weder konstant noch proportional zum Bestand.
Ansatz: Fragen Sie sich: Wird die Änderung größer, wenn schon mehr da ist?Warum? Genau dann ist die Rate proportional zum Bestand.
Weiter: Ändert sich die Größe pro Zeiteinheit immer um denselben Betrag, ist \(f'\) konstant — lineares Modell.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IEin Bestand wird durch f(t) = 80 · 1,25t beschrieben (t in Tagen). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die mittlere Änderungsrate ist eine Sekantensteigung, f′(t) eine Tangentensteigung. Beim exponentiellen Wachstum ist nur das Verhältnis f′(t) : f(t) konstant — nicht die Änderung selbst.
Ansatz: Vergleichen Sie jede Aussage mit dem Gesetz \(f'(t)=k\cdot f(t)\).
Weiter: Für die letzte Aussage: \(f(2)=80\cdot1{,}25^{2}=125\).
A3
Tangentensteigung näherungsweise
AFB IBerechnen Sie für \(f(t)=50\cdot2^{t}\) den Differenzenquotienten \(\frac{f(3{,}01)-f(3)}{0{,}01}\) auf zwei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f(3)=400\) und \(f(3{,}01)=50\cdot2^{3{,}01}\approx402{,}782\). Also \(\frac{2{,}782}{0{,}01}\approx278{,}22\). Das ist fast genau \(0{,}693\cdot400\) — der Faktor \(0{,}693\) begegnet Ihnen später wieder.
Ansatz: Beide Funktionswerte mit dem Rechner bestimmen, dann Differenz durch \(0{,}01\) teilen.
Weiter: Nicht zu früh runden: \(f(3{,}01)\) mit mindestens drei Nachkommastellen notieren.