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Wasserhyazinthen
AFB I–IIAuf einem See breiten sich Wasserhyazinthen aus. Die bedeckte Fläche wird durch \(A(t)=12\cdot1{,}15^{t}\) beschrieben (\(t\) in Tagen, \(A\) in \(\mathrm{m^2}\)).
Wasserhyazinthen auf dem See (Skizze)
- Geben Sie die Anfangsfläche und die tägliche prozentuale Zunahme an.
- Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Fläche in den ersten 10 Tagen.
- Bestimmen Sie näherungsweise die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t=10\) mit einem Differenzenquotienten (\(h=0{,}001\)).
- Zeigen Sie, dass der Quotient \(\frac{A(t+h)-A(t)}{h}:A(t)\) nicht von \(t\) abhängt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Vergleichen Sie mit der Form \(a\cdot b^{t}\).Angeben: ohne Rechnung nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Mittlere Änderungsrate = Sekantensteigung \(\frac{A(10)-A(0)}{10}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Beide Funktionswerte mit dem GTR, nicht zu früh runden.
Hinweis zu Aufgabe d)
Potenzgesetz \(1{,}15^{t+h}=1{,}15^{t}\cdot1{,}15^{h}\) und dann \(12\cdot1{,}15^{t}\) ausklammern.