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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Wie viele Nullstellen hat die Ableitung?
AFB IDie Karten zeigen fertig ausgeklammerte Ableitungen. Ordnen Sie jede Ableitung der Anzahl ihrer Nullstellen zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1keine Nullstelle
2genau eine Nullstelle
3zwei Nullstellen
Der e-Faktor ist nie null — es zählt nur der Polynomteil. \(x^{2}+1\) hat keine Nullstelle, \(x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\) nur die doppelte Nullstelle \(x=-1\), \(x^{2}-x=x(x-1)\) die zwei Nullstellen \(0\) und \(1\). Achtung: Die doppelte Nullstelle bei \((x+1)^{2}\) hat keinen Vorzeichenwechsel — dort liegt ein Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Ansatz: Setzen Sie nur den Polynomteil null, denn \(e^{kx}>0\) für alle \(x\).Warum? Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.
Weiter: Bei quadratischen Polynomteilen hilft die binomische Formel oder Ausklammern von \(x\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IGegeben ist f(x) = (x − 1) · ex. Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Mit der Merkformel \(f'(x)=\bigl(p'(x)+k\cdot p(x)\bigr)e^{kx}\) geht es schnell: \(p(x)=x-1\), \(k=1\) liefert \(f'(x)=(1+x-1)e^{x}=x\,e^{x}\) und nochmals \(f''(x)=(1+x)e^{x}\).
Ansatz: Berechnen Sie zuerst \(f'\) und \(f''\) und klammern Sie \(e^{x}\) aus.
Weiter: Hoch- oder Tiefpunkt entscheidet das Vorzeichen von \(f''\) an der Extremstelle.
A3
Tiefpunkt mit der Merkformel
AFB IBerechnen Sie für \(f(x)=(2x-5)\cdot e^{0{,}5x}\) die y-Koordinate des Tiefpunkts auf zwei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=\bigl(2+0{,}5\,(2x-5)\bigr)e^{0{,}5x}=(x-0{,}5)\,e^{0{,}5x}\), also \(x=0{,}5\). Vorzeichenwechsel des Polynomteils von \(-\) nach \(+\) — Tiefpunkt. \(f(0{,}5)=-4\cdot e^{0{,}25}\approx-5{,}14\).
Ansatz: \(f'(x)=\bigl(p'(x)+k\cdot p(x)\bigr)e^{kx}\) mit \(p(x)=2x-5\) und \(k=0{,}5\).
Weiter: Die Extremstelle ist \(x=0{,}5\). Setzen Sie sie in \(f\) ein — nicht in \(f'\).