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Grippewelle
AFB I–IIWährend einer Grippewelle wird die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag in einer Großstadt durch \(f(t)=120\,t^{2}\cdot e^{-0{,}25t}\) modelliert (\(t\) in Tagen seit Beginn der Welle). Zur Kontrolle dürfen Sie verwenden: \(f''(t)=7{,}5\,(t^{2}-16t+32)\cdot e^{-0{,}25t}\).
Grippewelle (Skizze)
- Berechnen Sie \(f(4)\) und \(f(20)\) und deuten Sie die Werte im Sachzusammenhang.
- Zeigen Sie, dass \(f'(t)=30\,t\,(8-t)\cdot e^{-0{,}25t}\) gilt, und bestimmen Sie den Hochpunkt des Graphen.
- Ermitteln Sie die beiden Wendestellen und interpretieren Sie sie im Sachzusammenhang.
- Ab dem zweiten Wendepunkt geht die Zahl der Neuerkrankungen zurück. Stellen Sie die Gleichung der Tangente im zweiten Wendepunkt auf und beurteilen Sie die Aussage: „Wenn der Rückgang so schnell weitergeht wie dort, ist die Welle nach etwa 23 Tagen vorbei.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Einsetzen genügt; beim Deuten Einheit „Neuerkrankungen pro Tag“ nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Produktregel mit \(u=120t^{2}\), \(v=e^{-0{,}25t}\), dann \(e^{-0{,}25t}\) und \(30t\) ausklammern. Hinreichend: Vorzeichenwechsel von \(f'\) oder \(f''(8)<0\).Zeigen: Umformungskette bis zum gegebenen Term.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(t^{2}-16t+32=0\) mit pq-Formel. Kontrolle GTR: Graph von \(f'\) zeichnen und mit SHIFT F5 (G-SOLVE) F2 MAX bzw. F3 MIN die Extremstellen von \(f'\) suchen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Tangente \(y=f'(t_W)\,(t-t_W)+f(t_W)\); ihre Nullstelle mit der Nullstelle des Modells vergleichen: Hat \(f\) überhaupt eine Nullstelle für \(t>0\)?