Wachstum und die e-Funktion: Übungen AFB III – Mathe Grundkurs

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Behauptungen widerlegen, Modelle beurteilen, Fehler finden und allgemein zeigen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.

Eine falsche Ableitungsregel

AFB III

Lena behauptet: „\((2^{x})'=x\cdot2^{x-1}\), das ist doch die Potenzregel.“ Widerlegen Sie die Behauptung.

Hinweis: Ein einziges Gegenbeispiel reicht.

Strategie: Einen Wert einsetzen, an dem die rechte Seite offensichtlich falsch ist.Warum so? Eine allgemeine Aussage ist widerlegt, sobald sie an einer Stelle nicht stimmt.

Lösungsskizze: Bei \(x=0\): rechts \(0\cdot2^{-1}=0\), aber der Graph von \(2^{x}\) steigt überall · richtige Regel \((2^{x})'=\ln2\cdot2^{x}\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Nach Lenas Regel wäre die Steigung bei \(x=0\) gleich \(0\cdot2^{-1}=0\), der Graph hätte dort eine waagerechte Tangente. \(2^{x}\) ist aber streng monoton steigend; tatsächlich gilt \((2^{x})'=\ln2\cdot2^{x}\), also \(\ln2\approx0{,}69\) bei \(x=0\). Die Potenzregel gilt nur, wenn die Variable in der Basis steht (\(x^{n}\)), nicht im Exponenten.

Lösung einer Wachstumsgleichung

AFB III

Zeigen Sie, dass jede Funktion \(f(t)=S-c\cdot e^{-kt}\) mit Konstanten \(c\) und \(k\) die Gleichung \(f'(t)=k\cdot\bigl(S-f(t)\bigr)\) erfüllt.

Hinweis: Beide Seiten getrennt ausrechnen und vergleichen.

Strategie: Linke Seite mit der Kettenregel, rechte Seite durch Einsetzen von \(f(t)\).Warum so? Stimmen beide Terme für jedes \(t\) überein, ist die Gleichung erfüllt.

Lösungsskizze: \(f'(t)=kc\,e^{-kt}\) · \(S-f(t)=c\,e^{-kt}\) · rechts \(k\cdot c\,e^{-kt}\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Links: \(f'(t)=-c\cdot(-k)\,e^{-kt}=k\,c\,e^{-kt}\). Rechts: \(S-f(t)=S-S+c\,e^{-kt}=c\,e^{-kt}\), also \(k\cdot(S-f(t))=k\,c\,e^{-kt}\). Beide Seiten sind für alle \(t\) gleich — die Gleichung ist erfüllt, und zwar unabhängig von \(c\). \(c\) legt nur den Startwert fest: \(c=S-f(0)\).

Potenz gegen e-Funktion

AFB III

Tom meint: „Bei \(f(x)=e^{x}-x^{10}\) gewinnt für große \(x\) die Potenz, denn schon \(f(10)\) ist riesig negativ.“ Beurteilen Sie Toms Aussage.

Hinweis: Rechne auch einmal \(f(40)\) mit dem GTR.

Strategie: Den Wert bei \(x=10\) prüfen und dann den Grenzprozess für \(x\to\infty\) betrachten.Warum so? Einzelne Werte zeigen kein Grenzverhalten — die Dominanz der e-Funktion schon.

Lösungsskizze: \(f(10)\approx-10^{10}\) stimmt · \(e^{40}\approx2{,}4\cdot10^{17}\) gegen \(40^{10}\approx1{,}0\cdot10^{16}\) · \(f(x)\to+\infty\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Toms Beobachtung stimmt: \(f(10)=e^{10}-10^{10}\approx-10^{10}\). Sein Schluss ist falsch: \(e^{x}\) wächst schneller als jede Potenz. Schon bei \(x=40\) ist \(e^{40}\approx2{,}4\cdot10^{17}\) größer als \(40^{10}\approx1{,}0\cdot10^{16}\), also \(f(40)>0\). Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\). Aus endlich vielen Werten darf man kein Grenzverhalten ablesen.